必考点08 离散型随机变量的分布及其数字特征-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

必考点08 离散型随机变量的分布 及其数字特征 题型一 离散型随机变量的分布列的性质 例题1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 2－3q q2 则q的值为(　　) A.1　　　　　　　　　 B. ± C. － D. ＋ 2.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　) A. B. C. D. 【解题技巧提炼】 离散型随机变量的分布列的性质的应用 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 题型二 求离散型随机变量的分布列 例1.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列. 【解题技巧提炼】 离散型随机变量分布列的求解步骤 题型三 离散型随机变量的均值与方差 例题1为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ). 【解题技巧提炼】 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 题型一 离散型随机变量的分布列的性质 1.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列； (2)求随机变量η＝|X－1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X2的分布列. 题型二 求离散型随机变量的分布列 1．在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设小华每次投掷的结果相互独立． （1）求小华恰好套中一次的概率； （2）求小华总分X的分布列及数学期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析，. 【解析】（1）设“小华恰好套中一次”为事件A， 则. （2）的可能取值为0，1，2，3，4，5， ；； ；； ；； ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 5 . 题型三 离散型随机变量的均值与方差 1．已知随机变量满足，随机变量，则（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．已知随机变量的取值为.若，，则（ ） A． B． C． D． 3．设，随机变量的分布如下表所示，则当在内增大时，（ ） 0 1 2 A．先减少后增大 B．先增大后减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 一、单选题 1．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（       ） A． B．1 C． D．2 2