高中数学强基计划专题讲座2： 立体几何

高中数学强基计划专题讲座2： 立体几何 （本专题包括知识点梳理、典型例题、素养提升和最新真题精选） 【考点梳理】 1.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线. ⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 2.二面角的求法：⑴定义法；⑵三垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角； 3.空间距离的求法： ⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算. ⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解. ⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键； 二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解. 4.用向量方法求空间角和距离： ⑴求异面直线所成的角：设、分别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所成的角. ⑵求线面角：设是斜线的方向向量,是平面的法向量,则斜线与平面所成的角. ⑶求二面角(法一)在内,在内,其方向如图(略),则二面角的平面角.(法二)设,是二面角的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角的平面角. （4)求点面距离：设是平面的法向量,在内取一点,则到的距离 (即在方向上投影的绝对值). 5.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为,则. 面积射影定理:(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为). 6.正四面体(设棱长为)的性质： ①全面积；②体积；③对棱间的距离；④相邻面所成二面角；⑤外接球半径；⑥内切球半径；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值. 7.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体 中,两两垂直,令,则⑴底面三角形为锐角三角形； ⑵直角顶点在底面的射影为三角形的垂心；⑶； ⑷；⑸；⑹外接球半径R=. 8.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有 或；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成 的角分别为,则有或. 9.球的体积公式,表面积公式；正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；球面上两点、间的距离求法： ⑴计算线段的长；⑵计算球心角的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧的长. 【典型例题】 例1、（清华） 平面平面，直线点与面夹角为与夹角为求夹角. 解：在平面内过作直线平行于过作直线垂直于平面,交点为过作直线交点为由条件有因此故夹角为 例2、（清华） 正四棱锥为中点,为中点求 解 设正四棱锥侧棱长为，底边长为则高为故 例3、（清华）在中，H为垂心，O为外心，中线AD交OH于G，求。 解：以D为坐标原点，BC为x轴建立坐标系，设所在直线方程为，从而H. 设, 由 。 例4、（清华自招）(1)一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以组成一个三角形； (2)四面体的一个顶点的三个角分别求的面和的面所成的二面角。 （1）证明：如图，不妨设AB是四面体ABCD最长的棱。 在△ABC和△ABD中，有AC+BC﹥AB,AD+BD﹥AB, ∴AC+BC+AD+BD﹥2AB AC+AD﹥AB,BC+BD﹥AB必有一个成立 否则有AC+BC+AD+BD≤2AB，矛盾！ 故原命题成立。 （2）如图，不妨取这样一个四面体， ∠ABD=60,AD⊥BD,CD⊥BD, 从而∠ADC即为所求的二面角，设BD=1，则AB=2，AD=,CD=2，BC=,AC=3在△ADC中，由余弦定理得 因此，的面和的面所成的二面角为 例5、（清华）O是正四面体的体心，令为以AO为轴的一次旋转，z为以OCD为平面的镜面对称，现w=（以OCD平面旋转），问经过与z如何组合能形成w? 解： 例6、（南大）已知四面体ABCD，,求证： （1）点A在平面BCD上的射影H是的垂心； （2） 分析：（1）欲证H是的垂心，需证,可转化为证明线面垂直，由（1）易证（2）。 证明：（1）连结BH,CH并延长，分别交CD,BD于E,F. （2）连结DH并延长交BC于G，由（1）知H是的垂心，故. 又 【点评】 1.四面体中只要有两对对棱彼此垂直，那么第三对对棱也必定垂直； 2.四面体中，若有一个顶点在对面的射影为其垂心，则另外3个顶点在对面的射影均为其垂心。 例7、（北大）对于长、宽、高分别为a,b,c（a>b>c）的长方体上最远的两点P、Q，沿表面的最短距离为多少？ 分析：求几何体表面（可展开到平面上）上两点之间距离的最小值问题，一般采用将这个几何体的