【压轴突围】专题03 平方差公式与完全平方公式压轴题六种模型-2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）

2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版） 专题03 平方差公式与完全平方公式压轴题六种模型 【类型一 利用平方差公式和完全平方公式化简及化简求值问题】 例1.（2022·上海金山·七年级期中）先化简，再求值：（2x）2﹣[（3x﹣1）（3x＋1）﹣（x＋3）（x﹣5）﹣（2x﹣3）2]，其中x＝﹣． 【答案】﹣14x﹣5，2 【解析】 【分析】 先根据平方差公式，多项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，去括号，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】 解：（2x）2﹣[（3x﹣1）（3x﹣1）﹣（x+3）（x﹣5）﹣（2x﹣3）2] ＝4x2﹣（9x2﹣1﹣x2+5x﹣3x+15﹣4x2+12x﹣9） ＝4x2﹣（4x2+14x+5） ＝4x2﹣4x2﹣14x﹣5 ＝﹣14x﹣5， 当x＝﹣时，原式＝﹣14×（﹣）﹣5＝7﹣5＝2． 【点睛】 本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 【变式训练1】（2022·重庆黔江·八年级期末）化简后求值：， 其中： 【答案】，19 【解析】 【分析】 根据完全平方公式和平方差公式，把代数式去括号，合并同类项，从而将整式化为最简形式，然后把a、b的值代入即可． 【详解】 解：原式 当，时，原式 【点睛】 本题考查了整式的化简求值，掌握乘法公式是解题的关键． 【变式训练2】（2021·全国·七年级期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】﹣xy﹣y2，﹣8 【解析】 【分析】 根据平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式运算法则化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】 解：， =， =， =﹣xy﹣y2， 当时， 原式=（﹣3）2=﹣8． 【点睛】 本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是熟记乘法公式整式的化简求值的方法． 【变式训练3】（2022·湖南长沙·八年级期末）己知x，y满足．先化简，再求值：． 【答案】，2 【解析】 【分析】 先利用平方差公式，完全平方公式单项式乘以多项式法则计算合并同类项，再计算多项式除以单项式，然后根据非负数性质求出字母的值，再代入计算即可． 【详解】 解：原式， ； 又∵，， ， ∴，， ∴原式=． 【点睛】 本题考查条件化简求值，非负数性质，乘法公式，掌握条件化简求值，非负数性质，乘法公式是解题关键． 【类型二 通过乘法公式变式求值问题】 例2．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）简答下列各题： (1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值； (2)若a＋＝3，那么a2＋＝_____；若a－＝3，那么a4＋＝_____． 【答案】(1)a＋b＝±2；a－b＝0 (2)7，119 【解析】 【分析】 （1）根据完全平方公式计算，将代数式的值代入求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式变形求值即可 (1) 解：∵a2＋b2＝2，ab＝1， ∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝2＋2＝4，即a＋b＝±2； （a－b）2＝a2＋b2－2ab＝2－2＝0，即a－b＝0． (2) 解：∵a＋＝3， ∴ 若 a－＝3， ∴ 故答案为：7,119 【点睛】 本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式变形求值是解题的关键． 【变式训练1】（2022·四川南充·八年级期末）已知，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据平方差公式进行计算即可 【详解】 解：，，， 故答案为： 【点睛】 本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 【变式训练2】（2022·湖北荆门·八年级期末）已知a+b=5，ab=-2，那么a2+b2的值为______． 【答案】29 【解析】 【分析】 根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】 解：∵a+b=5，ab=-2， （a+b）2=a2+2ab+b2， ∴52=a2+b2-4， ∴a2+b2=29， 故答案为：29． 【点睛】 本题考查了完全平方公式，涉及代入求值和整体思想． 【变式训练3】（2021·全国·七年级期中）已知a+b=5，ab=﹣2．求下列代数式的值： (1)a2+b2； (2)2a2﹣3ab+2b2． 【答案】(1)29； (2)64 【解析】 【分析】 （1）利用已知得出（a+b）2=25，进而化简求出即可； （2）利用（1）中所求，进而求出即可． (1) 解：（1）∵a+b=5，ab=﹣2，∴（a+b）2=25， 则a2+b2+2×（﹣2）=25， 故a2+b2=29； (2) （2）2a2﹣3ab+2b2 =2（a2+b2）﹣3ab =2×29﹣3×（﹣2） =64． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是正确利用