精讲05 数列求和的五大题型-【题型·技巧培优系列】2021-2022学年高二数学同步培优精讲+精测（北师大版2019选择性必修第二册）

精讲05 数列求和的五大题型 【题型解读】 【知识储备】 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 3．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①＝－. ②＝. ③＝. ④＝－. ⑤loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 5．倒序相加求和 【题型精讲】 【题型一　错位相减求和 】 必备技巧 错位相减求和 第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式； 第二步 确定等差、等比数列的通项公式； 第三步 构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差； 第四步 求和：根据差式的特征准确求和. 例1　（2021·赣榆智贤中学月考）已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，，恰为等比数列的前三项． （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1），；（2）见解析 【解析】（1）由题意，，得， 由，得，．所以． 由，，得公比，所以． （2）因为，所以① 得② ①-②得 ．所以．从而． 【题型精练】 1.（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7. （1）求与的通项公式； （2）求的前n项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】解：（1）设等差数列的公差为d， 由，可得， 解得，则； 设正项等比数列的公比为q，q>0， 由首项为1，前3项和为7，可得，解得q=2， 则； （2）由（1）可得， 所以， 则， 两式相减可得=， 所以. 2．（2021·河南高二月考）设等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足， 求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由，得，解得， 因此； （2）由题意知：， 所以， 则， 两式相减得 ， 因此，. 3．（2021·四川高三月考）在正项等比数列中，，且，，是等差数列的前三项． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）因为， 所以， 所以或， 因为，所以， 所以， 因为的前三项分别是8，16，24， 所以． （2）因为=， 所以① ② ①－②得 ， 所以． 【题型二　裂项相消求和 】 必备技巧 裂项相消求和 第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差或和的形式； 第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和. 例2　（2021·四川遂宁市高二月考）已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）令的前项和为，求证：， 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为，令，则，又，所以. 对两边同时除以，得， 又因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，故； （2）由（1）得： 所以 因为，所以，故，即. 例3　设数列满足，若，且数列的前 项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先根据的递推关系求出的通项公式，代入的表达式中，求出的通项，即可求解的前 项和 【详解】 由可得, ∵, ∴, 则可得数列为常数列，即, ∴ ∴, ∴. 故选: D 例4　（2021·重庆八中高三模拟）已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，得． 又，从而数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以． （2）由（1）得，所以 ． 例5　（2021·简阳市阳安中学高三二模）记为等比数列的前项的和，且为递增数列.已知，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项之和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设等比数列的公比为，则， 解得或， 因为为递增数列，所以只有符合题意，故； （2）由题意，， ∴ . 例6　（2021·重庆一中高三模拟）已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由， 可得=1， 则数列是首项为=1，公