精讲04 数列求通项五大题型-【题型·技巧培优系列】2021-2022学年高二数学同步培优精讲+精测（北师大版2019选择性必修第二册）

精讲04 数列求通项五大题型 【题型解读】 【知识必备】 1. 已知Sn求an (1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝． (2)Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 2.累加法、累乘法求an (1)根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式． (2)根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式． 3.构造法求an 观察题干给出的递推关系构造新的等差、等比数列求. 4.分奇偶求an 【题型精讲】 【题型一　由数列的前n项和Sn求an 】 方法技巧 已知Sn求an (1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． (2)Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 例1　（2021·全国·高二单元测试）已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. (3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝ . 【解析】 (1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式． ∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝ （3）当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2， ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n， ① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)， ② 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1， ∴an＝.显然当n＝1时不满足上式，∴an＝ 例2　（2021·全国（理））设数列的前n项和为，若，则___________． 【答案】 【解析】，故，解得， 当时，，整理得到， 故是首项为，公比为得到等比数列，故， 即，验证时满足，故. 故答案为：. 例3　（2021·全国·高二月考）Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和． 【解析】(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.② ②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由an>0，得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1，n∈N*. (2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＝. 例4　（2021·全国·高二课时练习）已知数列的首项，与前n项和之间满足，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】 根据，结合当时，，运算即可得出答案. 【解析】 当时，，∴，即， ∴是以1为首项，2为公差的等差数， ∴，即， 所以当时，． 又当时，不满足上式， ∴． 【题型精练】 1．（2021·河南·高二月考）已知数列的前项和为，且满足，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用与的关系可求，可得，再利用函数的单调性即求. 【解析】 ∵， 当时，，此时， 综上，数列的通项公式为. ∴， 记，则在与上都是增函数， ∴数列的最小项是第6项，值为. 故选：C 2．（2021·全国高三专题练习）数列的前项和为，已知，，则___． 【答案】 【解析】因，，而，则， 于是得，又，则数列是首项为1，公比为2的等比数列， 从而有，即，， 时，，而满足上式， 所以，.故答案为： 3.(2021衡水2调）已知是各项都为正数的数列，其前n项和为，且为与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）设求的前n项和. 【解析】 （1）由题意知，，即①当n=1时，由①式可