精测05 数列求和的五大题型-【题型·技巧培优系列】2021-2022学年高二数学同步培优精讲+精测（北师大版2019选择性必修第二册）

精测05 数列求和的五大题型 【题型一　错位相减求和 】 1．（2021·黑龙江道里·哈尔滨三中高二月考）已知数列满足，，设. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）， 为等差数列； （2），， ， ，① ，② 1 ②得：， 2.（2021·贵州省思南中学月考）已知数列满足，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1） 时，有，即，故， 又时也适合该式， （2）因为， 所以① 则② ①-②得， . 3．（2021·辽宁阜新·高二期末）已知数列的前项和为，且满足. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）证明：数列的前项和为，且满足，①， 当时，整理得：； 当时，，②， ①－②得：， 整理得：（常数）， 故数列是以1为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得：. 所以， 所以①， ②， ①－②得：， 所以：， 整理得：. 故：. 4．（2021·福建厦门市·厦门双十中学高三其他模拟）在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 已知数列的前n项和为，___________. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】条件选择见解析；（1）；（2）. 【解析】（1）方案一：选条件①. ∵，∴当时，， 两式相减，整理得， ∵，∴，， 所以， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴. 方案二：选条件②. ∵，∴当时，， 两式相减，整理得， ∵，，∴，， 所以， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. ∴ 方案三：选条件③. ∵点在直线上， ∴，∴， 两式相减，整理得，当时，，得， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴. （2）由（1）可得，，则， ， 两式相减得 ∴. 5．（2021·广东汕尾·期末）已知等比数列的前n项和是，且是与的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）等比数列的公比设为q，，即， 是与的等差中项，可得， 所以，整理求得， 则； （2）由（1）可求得， ， ∴.① ，② ①－②得 ， 所以， 【题型二　裂项相消求和 】 1．（2021·沭阳县修远中学高二月考）数列的通项公式，若前n项的和为11，则n=________. 【答案】143. 【解析】因为，所以， 所以 因此， 2. （2021·湖北武汉市·汉阳一中高三模拟）已知在数列中，前n项和为，若． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）在数列中，①∵②且， ∴①式÷②式得：，∴数列以为首项，公差为1的等差数列， ∴∴,当时，； 当时，，不满足上式，∴数列的通项公式为． （2）由（1）知，，则数列的前项和，当时，， 当时， ，当时也满足上式，故有． 3．（2021·湖南天心·长郡中学月考）设数列满足：，且（），. （1）求的通项公式： （2）求数列的前项和. 【答案】（1）（）（2） 【解析】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为, 因为,所以,解得, 所以的通项公式为:(); (2)由(1)知, 所以数列的前项和: . 4．（2021·商丘市第一高级中学）已知等差数列的公差为，前项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，所以，即，整理得， 又因为，所以， 即，所以； （2）由（1）知，所以， ， 所以． 5.（2021·河南商丘市·高三月考）已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由条件，可得，又 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以 因此 （2）． 所以， 6．（2021·河南商丘市·高三月考）已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由条件，可得，又 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以 因此 （2）． 所以， 7．（2021·安徽省太和中学高二期末）已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）当时，，则． 当时，因为，所以， 则，即． 从而，即， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）可得，即． 因为，所以， 则， 故． 8．（2021·应城市第一高级中学高二开学考试）数列满足，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列