精测04 数列求通项五大题型-【题型·技巧培优系列】2021-2022学年高二数学同步培优精讲+精测（北师大版2019选择性必修第二册）

精测04 数列求通项五大题型 【题型一　由数列的前n项和Sn求an 】 1．（2021·青岛二中月考）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________． 【答案】an＝ 【解析】当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝ 2．（2021·重庆北碚·西南大学附中月考）已知数列的前项和为，且满足，则数列的通项公式_________． 【答案】 【解析】因为， 所以当时，， 两式相减可得：，即，所， 当时，，不满足， 所以从第二项起是公比为的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式， 故答案为： 3.(2021·株洲模拟)设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋1)2(n＝1,2,3，…)，则Sn＝________. 【答案】n2 【解析】 由题意，可知Sn＝2，当n＝1时，a1＝1.an＝Sn－Sn－1＝2－2 ＝·＝＋ 整理得，＝⇒an－an－1＝2. 所以an＝2n－1.解得Sn＝＝n2. 4．(多选)（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前项和，则（ ） A． B．是等比数列 C．是递增数列 D．，，成等比 【答案】AD 【分析】 代入，可得，可判断A； 项和转换，求得，可判断B； 比较，可判断C； 计算，，，可判断D 【解析】 当时，，A正确． 当，时，． 所以，故，不是等比数列，B错误． 因为，所以不是递增数列，C错误． 因为，，，， 所以，,， 则，所以，，成等比数列，D正确． 故选：AD 5．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为，且对任意正整数n，都有成立，记． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）由，得到，两式相减得，得到是以为首项，为公比的等比数列，求得，进而求得． （2）由（1）得到，结合裂项法，即可求解. 【解析】（1） 因为，令，得， 又因为对任意正整数n，都有成立，可得， 两式相减得，可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以． （2）由（1）可得得， 所以． 6.(2021·株洲模拟)设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋1)2(n＝1,2,3，…)，则Sn＝________. 【答案】n2 【解析】 由题意，可知Sn＝2，当n＝1时，a1＝1.an＝Sn－Sn－1＝2－2 ＝·＝＋ 整理得，＝⇒an－an－1＝2. 所以an＝2n－1.解得Sn＝＝n2. 7．（2021·全国·高二课时练习）若数列是正项数列，且，则______． 【答案】 【分析】 当时，，与已知式相减，得，检验首项即可得到数列通项公式，根据通项求和. 【解析】 令，得，∴． 当时，． 与已知式相减，得． ∴． 又∵时，满足上式，∴． ∴，∴． 故答案为： 8．（2021·江西赣州·高一期末）已知数列满足，且，数列各项均为正数，其前项和满足. （1）求数列和的通项公式； （2）令，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由，可知为常数列，从而可得通项公式，由，可得，进而可得通项公式； （2）由（1）知，利用裂项相消法可得前项和为，进而研究的单调性，可得结果. 【解析】 解：（1）由，得，得. 由， 得， 因为数列各项均为正数，∴. 所以， 当时，， 因为也符合上式，所以； （2）由（1）知， ， ， ， ， 则， 设， 因为 ， 所以单调递增， 故， ∴. 【题型二　利用累加法求an】 1．（2021·全国·高三专题练习）(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式； (2)数列中，，，，求． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 (1)由可得，结合等差数列通项公式及累加法可求数列的通项公式， (2)由可得，利用累加法求，再通过构造等比数列求数列的通项公式. 【解析】 (1)由得：， 令，则上式为． 因此是一个等差数列，，公差为1，故． 由于， 又，，即． (2)由递推关系式，得， 令，则，且． 符合该式， ， 令，则，即， 即，且， 故是以为首项，为公比的等比数列． ，即， . 2．（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由，利用累加法得出. 【解析】 由题意可得， 所以，，…，， 上式累加可得 ， 又，所以. 故选：B. 3．（2021·甘肃·张掖市第二中学高二月考）在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】