（原创）北师大版（2019）数学-选择性必修第二册-第二章 导数及其应用-§7.2 实际问题中的最值问题

§7.1实际问题中导数的意义 2 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题. 1．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点) 2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．(难点、易混点) 课标要求 1．通过导数的实际应用的学习，培养数学建模素养． 2．通过解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升逻辑推理、数学运算素养． 素养要求 在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题.导数是解决最优化问题的一个重要工具. 探究点1 面积、体积的最值问题 7 8 【思路点拨】 9 10 11 【规律总结】 12 13 例2 如图2-23(1), 一边长为48 cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图2-23(2).所得容器的容积V(单位: cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数. (1)随着x的变化，容积V是如何变化的？ (2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少? 解(1)首先写出V关于x的函数解析式.根据题意，可得 V=V(x) = (48-2x)2x. 由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0＜x＜24}. 根据导数公式表及导数的运算法则，可得 v'(x) = -4x(48-2x) + (48-2x)2=(48-2x)(-6x+48) =12(x-24)(x-8). 解方程 V'(x)=O,得 x1=8,x2 = 24. 根据x1,x2,列出表2-12, 分析V'(x)的符号、V(x)的单调性和极值点. 根据表2-12可知,x=8是函数V=V(x)的极大值点，相应的极大值为 V=V(8) = (48-16)2×8=8 192(cm3). V=(48-2x)2x的大致图象如图2-24. 根据对函数变化规律的讨论可知： 当0<x≤8时，函数V=V(x)单调递增； 当8≤x＜24时，函数V=V(x)单调递减. (2)区间(0,24)上任意点的函数值都不