第29期 流程图与结构图-【数理报】2021-2022学年高中数学选修1-2（北师大版）

书 第 ３０期 １版跟踪训练参考答案 归纳推理 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｃ． ４．４８；　５．ａｋ－１＋ａｋ＋… ＋ａ２ｋ－２． ６．解：（１）因为 ａｎ ＝ １ ｎ（ｎ＋１），ｎ∈ Ｎ＋， 所以 ａ１ ＝ １ ２，ａ２ ＝ １ ６，ａ３ ＝ １ １２． 所以 Ｓ１ ＝ １ ２，Ｓ２ ＝ ２ ３，Ｓ３ ＝ ３ ４． （２）通过Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３的值，猜测Ｓｎ ＝ ｎ ｎ＋１（ｎ∈Ｎ＋）． 类比推理 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｂ． ４．正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值； ５．１∶８． ６．解：因为在△ＡＢＣ中，由正弦定理，得 ａｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ ＝ ｃｓｉｎＣ． 于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体 Ｓ－ＡＢＣ 中，我们猜想： Ｓ１ ｓｉｎα１ ＝ Ｓ２ ｓｉｎα２ ＝ Ｓ３ ｓｉｎα３ ． 数学证明 １．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ａ． ４．大前提、小前提和推理形式； ５．类比推理，演绎推理． ６．证明：若ｘ１＜ｘ２，得ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），则ｆ（ｘ）是减函 数． （大前提） 设ｘ１，ｘ２是（０，＋∞）上的任意两个实数，且ｘ１＜ｘ２， 则ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝ １ ｘ１ －１ｘ２ ＝ ｘ２－ｘ１ ｘ１·ｘ２ ． 由ｘ１，ｘ２∈（０，＋∞）得ｘ１·ｘ２ ＞０， 又由ｘ１ ＜ｘ２得ｘ２－ｘ１ ＞０． 于是ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＞０． 即ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２）． （小前提） 所以ｆ（ｘ）＝ １ｘ在（０，＋∞）上是减函数．（结论） 第３０期３版参考答案 归纳与类比、数学证明同步测试题 Ａ组 一、选择题 １－８　ＢＢＣＡ　ＡＣＣＡ 提示： ３．①是特殊到特殊；②④ 均是由特殊到一般，所以 ①②④是合情推理，而 ③ 是由一般到特殊，不是合情推 理． ４．因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的 平方都大于０”是错误的，即大前提错误，故选（Ａ）． ５．设五份儿中，中间的一份儿是 ａ，公差是 ｄ（ｄ＞ ０），则（ａ－２ｄ）＋（ａ－ｄ）＋ａ＋（ａ＋ｄ）＋（ａ＋２ｄ）＝５ａ ＝１００，ａ＝２０．由 １７（ａ＋ａ＋ｄ＋ａ＋２ｄ）＝ａ－２ｄ＋ａ－ ｄ，得３ａ＋３ｄ＝７（２ａ－３ｄ），所以ｄ＝５５６．所以最小的一 份为ａ－２ｄ＝２０－１１０６ ＝ ５ ３． ６．设四面体的内切球的球心为 Ｏ，则球心 Ｏ到四个 面的距离都是ｒ，根据三角形的面积求解方法 ——— 分割 法，将Ｏ与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以Ｏ为 顶点，分别以四个面为底面的４个三棱锥的体积的和，所 以Ｖ＝ ｒ３（Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＋Ｓ４）． ７．根据题意 ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝２×１１＋２＝ ２ ３，ｆ（３）＝ ２×２３ ２ ３＋２ ＝２４，ｆ（４）＝ ２×１２ １ ２＋２ ＝２５，…，可以归纳ｆ（ｘ）为 分数，且其分子为２不变，分母为ｘ＋１，即ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋１． ８．由题意结合所给的例子类比推理可得： ３＋２槡 ｘ ＝ｘ（ｘ≥０），整理得（ｘ＋１）（ｘ－３）＝０，则 ｘ＝３，即 ３＋２ ３＋２槡槡槡 … ＝３． 二、填空题 ９．ＡＢ且ＢＡ； １０．当５１２＜ｘ＜１０２４时，ｆ（ｘ）＝９． 提示： １０．由三个结论知，当２ｎ－１＜ｘ＜２ｎ时，ｆ（ｘ）＝ｎ－１． 所以结论１０为：当５１２＜ｘ＜１０２４时，ｆ（ｘ）＝９． 三、解答题 １１．解：当ｎ＝２时，交点个数ｆ（２）＝１； 当ｎ＝３时，交点个数ｆ（３）＝３； 当ｎ＝４时，交点个数ｆ（４）＝６； 当ｎ＝５时，交点个数ｆ（５）＝１０． 归纳猜想：ｆ（ｎ）＝ １２ｎ（ｎ－１）（ｎ≥２）． １２．证明：连结ＥＦ， 三角形中位线与第三边平行，（大前提） 点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＥＦ是 △ＡＢＤ的中位 线，（小前提） 所以ＥＦ∥ＢＤ． 平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线 与平面平行，（大前提） ＥＦ平面ＢＣＤ，ＢＤ 平面 ＢＣＤ，ＥＦ∥ ＢＤ，（小前 提） 所以ＥＦ∥平面ＢＣＤ． １３．解：一般形式：ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２（α＋６０°）＋ｓｉｎ２（α＋ １２０°）＝ ３２． 证明：左边 ＝１－ｃｏｓ２α２ ＋ １－ｃｏｓ（２α＋１２０°） ２ ＋ １－ｃｏｓ（２α＋２４０°） ２ ＝ ３ ２－ １ ２［ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ（２α＋１２０°） ＋ｃｏｓ（２α＋２４０°）］＝３２－ １ ２［ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２αｃｏｓ１２０°－ ｓｉｎ２αｓｉｎ１２０°＋ｃｏｓ２αｃｏｓ２４０°－ｓｉｎ２αｓｉｎ２４０°］＝３２－ [１２ ｃｏｓ２α－ １２ｃｏｓ２α－槡３２ｓｉｎ２α－ １２ｃｏｓ２α＋ 槡３ ２ｓｉｎ２ ]α ＝ ３２ ＝右边 ( ． 将一般形式写成ｓｉｎ２（α－６０°）＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２（α＋ ６０°）＝３２，ｓｉｎ ２（α－１２０°）＋ｓｉｎ２（α－６０°）＋ｓｉｎ２α＝３２ )等均正确 Ｂ组 一