第八章 立体几何初步 专题4、平行、垂直关系中的折叠问题-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第二册）

第8章 立体几何初步 专题4 平行、垂直关系中的折叠问题 把一个平面图形按某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是翻折问题。图形的翻折问题在历年高考中时常出现,因为它是一个由直观到抽象的过程,所以每次的出现的题号都偏后,同学们的答题情况也不太理想。 从近几年高考命题看,考查考查力度与以往基本相同,与之相关的题目,难度较大. 【题型导图】 类型一 平行关系中的折叠问题 例1:(2021·全国·高一课时练习)如图所示,矩形和矩形中,,点M,N分别位于上,且,矩形可沿任意翻折. (1)求证:当F,A,D不共线时,线段总平行于平面. (2)“不管怎样翻折矩形,线段总和线段平行,”这个结论对吗?如果对,请证明;如果不对,请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立. 【变式1】(2021·全国)如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中,AP平面EFG. 【变式2】(2022·全国)如图1,已知矩形中,,E为上一点且.现将沿着折起,使点D到达点P的位置,且,得到的图形如图2. (1)证明为直角三角形; (2)设动点M在线段上,判断直线与平面的位置关系,并说明理由. 【变式3】(2022·陕西西安)如图1,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,沿DE把△ADE折起,得到如图2所示的四棱锥. (1)证明:EF//平面A1BD; (2)若平面DE⊥平面BCED,求三棱锥﹣CEF的体积. 类型二 垂直关系中的折叠问题 例3.(2021·湖北·)如图1,在等腰梯形中,,,,.将与分别沿,折起,使得点、重合(记为点),形成图2,且是等腰直角三角形. (1)证明:平面平面; (2)求二面角的正弦值; (3)若,求四棱锥的体积. 【变式1】(2021·全国·)已知菱形的边长为,,如图1.沿对角线将向上折起至,连接,构成一个四面体,如图2. (1)求证:; (2)若,求四面体的体积. 【变式2】(2021·全国)如图,在直角梯形ABCD中,,,,点E是BC的中点.将沿BD折起,使,连接AE、AC、DE,得到三棱锥. (1)求证:平面平面BCD; (2)若,二面角的大小为60°,求三棱锥的体积. 【变式3】(2021·全国·)一副三角板按如图所示的方式拼接,将折起,使得二面角为直二面角.求证:平面平面ACD. 【限时训练】 1.(2021·安徽宣城)如图,在直角梯形中,,且为的中点,分别是的中点,将沿折起,则下列说法正确的个数是( ) ①不论折至何位置不在平面内),都有平面 ②不论折至何位置不在平面内,都有 ③不论折至何位置不在平面内,都有 ④在折起过程中,一定存在某个位置,使 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2021·安徽安庆)如图是某几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,其余均为等腰三角形,E,F,G,H 分别为的中点. 则在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是( ) A.直线平面 B.直线与平面相交 C.直线平面 D.平面平面 3.(2021·全国·)如图所示,在直角梯形中,,,分别是,上的点,,且(如图,将四边形沿折起,连结、、(如图.在折起的过程中,下列说法中正确的个数( ) ①平面; ②、、、四点可能共面; ③若,则平面平面; ④平面与平面可能垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 4.(2021·陕西·铜川市)如图,在直角梯形中,,,,,分别是,的中点,将三角形沿折起.下列说法正确的是_.(填序号) ①不论折至何位置(不在平面内)都有平面; ②不论折至何位置(不在平面内)都有; ③在折起过程中,一定存在某个位置,使平面; ④当二面角的大小为时,四棱锥的体积取最大值. 5.(2020·浙江杭州)如图,矩形中,,E为边的中点,将沿直线翻折成.若M为线段的中点,则在翻折过程中,下面四个选项中正确的是_(填写所有的正确选项) (1)是定值 (2)点M在某个球面上运动 (3)存在某个位置,使 (4)存在某个位置,使平面 6.(2021·全国)如图1,在直角梯形ABCD中,,,且.现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直,为的中点,如图2. (1)求证:平面; (2)求证:平面. 7.(2021·全国)如图1,在直角梯形中,,E是的中点,O是与的交点.将沿折起到图2中的位置,得到四棱锥.求证:平面. 8.(2020·福建·莆田)如图,已知等腰梯形中,,,是的中点,,将沿着翻折成,使平面平面. (1)求证:平面; (2)求与平面所成的角; (3)在线段上是否存在点,使得平面,若