必考点02 数列综合问题-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

必考点02 数列综合问题 题型一 分组转化法 例题1已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 【解题技巧提炼】 若数列通项是几个数列通项的和或差的组合，如：等差加等比，等比加等比．对于这类数列求和，就是对数列通项进行分解，然后分别对每个数列进行求和．例如：an＝bn＋cn＋…＋hn，则＝＋＋…＋ 题型二 错位相减法 例题1设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解题技巧提炼】 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解． 【提示】 (1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 题型三 裂项相消 例题1(2021·福州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．设bn＝an＋1－an. (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn. 例题2已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项为Sn，则S2 018＝(　　) A.－1　　　　　　 B. －1 C. －1 D. ＋1 【解题技巧提炼】 看个性 考法(一)数列的通项公式形如an＝时，可转化为an＝，此类数列适合使用裂项相消法求和． 考法(二)数列的通项公式形如an＝时，可转化为an＝，此类数列适合使用裂项相消法求和 找共性 裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 题型一 分组转化法 1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3，则其前20项和为(　　) A．380－　　　　 B．400－ C．420－ D．440－ 2．(2022·焦作模拟)已知{an}为等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列{bn－an}为等比数列． (1)求数列{an}和{bn－an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Sn. 题型二 错位相减法 1．数列，，，，…的前10项之和为________． 2．(2022·福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1. (1)证明：数列{an}是等比数列； (2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn. 题型三 裂项相消 1．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________. 2．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.求证：对于任意的n∈N*，都有Tn＜. 一、单选题 1．数列中，，对任意 ，若，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．设数列为等比数列，且公比，若和是方程的两根，则（       ） A．18 B． C．或18 D．10 3．设关于的不等式的解集中整数的个数为，数列的前1000项组成集合，从中任取4个不同的数，按照从小到大的顺序排列成一个公比为偶数的等比数列，则这样的等比数列的个数为（       ） A．125 B．140 C．144 D．146 4．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（       ）参考数据：lg38≈1.58 A．34 B．35 C．36 D．37 5．设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．北京天坛的圜丘坛为古代祭