第27期 16.1 二次根式;16.2二次根式的乘除(参考答案见28期)-【数理报】2021-2022学年下学期八年级下册初二数学（人教版）

书 一、新定义型 例１　定义一种新的运算“＠”，“＠”的运算法则 为：ａ＠ｂ＝ ａｂ＋槡 ３，则（２＠３）＠５＝ ． 分析：根据新定义运算法则列式计算，先算括号里 面的，然后算括号外面的． 解：原式 ＝ ２×３＋槡 ３＠５＝３＠５＝ ３×５＋槡 ３ ＝槡１８＝３槡２．故填３槡２． 二、规律型 例２　已知ｙ＝ ｘ２－４ｘ＋槡 ４－ｘ＋３，当ｘ分别取 １，２，３，…，２０２２时，所对应的ｙ值的总和是 ． 分析：根据二次根式的性质和绝对值的性质化简， 即可得到对应的ｙ值的总和． 解：ｙ＝ ｘ２－４ｘ＋槡 ４－ｘ＋３＝ （ｘ－２）槡 ２－ｘ＋ ３＝｜ｘ－２｜－ｘ＋３． 当ｘ＝１时，ｙ＝３； 当ｘ≥２时，ｙ＝ｘ－２－ｘ＋３＝１，即当ｘ分别取２， ３，…，２０２２时，ｙ的值均为１． 综上所述，当ｘ分别取１，２，３，…，２０２２时，所对应的 ｙ值的总和是：３＋２０２１×１＝２０２４．故填２０２４． 例３　阅读下面材料： １槡 ３ ＝ １槡 ２ ＝１； １３＋２槡 ３ ＝ ３槡 ２ ＝３； １３＋２３＋３槡 ３ ＝ ６槡 ２ ＝６； １３＋２３＋３３＋４槡 ３ ＝ １０槡 ２ ＝１０； …… 根据上面的规律，解决问题： （１） １３＋２３＋３３＋４３＋５３＋６槡 ３ ＝ ＝ ； （２）求 １３＋２３＋３３＋… ＋ｎ槡 ３（用含 ｎ的代数式 表示）． 分析：（１）观察各个等式中最左边的被开方数中各 个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论； （２）利用发现的规律解答即可． 解：（１） ２１槡 ２，２１； （２）根 据 上 述 材 料 中 发 现 的 规 律， 可 得 １３＋２３＋３３＋… ＋ｎ槡 ３ ＝ （１＋２＋３＋… ＋ｎ）槡 ２ ＝ｎ（ｎ＋１）２ ． 书 利用二次根式的性质化简二次根式，不仅要掌握二 次根式的运算性质，还要把握化简中的一些要点． 一、将被开方数分解 当被开方数是一个整数时，可将这个整数分解成两 个整数的积，且其中一个是某整数的平方． 例１　（２０２１武汉模拟）化简：槡２０＝ ． 分析：此题可将２０写为两个数的乘积，将平方数开 方即可． 解：槡２０＝ ４×槡 ５＝２槡５．故填２槡５． 二、将分母化为平方数 当被开方数是分数时，可将分数的分子、分母同乘 以一个适当的数，把分母化为一个平方数． 例２　（２０２１益阳）将 ４５槡２化为最简二次根式，其 结果是 （　　） Ａ．槡４５２ 　　Ｂ． 槡９０ ２ 　　Ｃ． ９槡１０ ２ 　　Ｄ． ３槡１０ ２ 分析：要化简 ４５ 槡２，可以将 ４５ ２的分子、分母都乘以 ２，这样就把分母变为平方数４． 解：原式 ＝ ４５×２２×槡 ２＝ ９×５×槡 ２ ２×槡 ２ ＝３槡１０２ ．故选Ｄ． 三、将带分数化为假分数 当被开方数是带分数时，可先将带分数化为假分 数，再进行化简． 例３　化简： ２１槡５． 分析：因为２１５是带分数，不能直接进行开方运算， 应先将其化为假分数 １１ ５，再根据例２的方法化简． 解： ２１槡５ ＝ １１ 槡５ ＝ １１×５ ５×槡 ５ ＝ 槡５５ 槡２５ ＝槡５５５ ． 四、将小数化为分数 当被开方数是小数时，一般先将小数化成分数，再 进行化简． 例４　化简： ０．槡 ２４． 分析：０．２４是一个小数，在化简时应先将０．２４化为 分数 ２４ １００，再进行化简． 解： ０．槡 ２４＝ ２４ 槡１００＝ 槡２４ 槡１００ ＝ ２ ２×槡 ６ １０ ＝ 槡６ ５． 五、运用积的算术平方根的性质 当被开方数不含分母时，可以先将它分解因数或分 解因式，然后运用积的算术平方根的性质进行化简． 例５　已知ａ＜ｂ，则化简二次根式 －ａ３槡 ｂ的正确 结果是 （　　） Ａ．－ａ槡－ａｂ Ｂ．－ａ槡ａｂ Ｃ．ａ槡ａｂ Ｄ．ａ槡－ａｂ 分析：根据二次根式有意义的条件和ａ＜ｂ，确定ａ， ｂ的取值范围，运用积的算术平方根的性质进行化简． 解：因为 －ａ３槡 ｂ有意义，ａ＜ｂ，所以ａ＜０，ｂ≥０或ａ ≤０，ｂ＞０．所以 －ａ３槡 ｂ＝ ａ ２·（－ａｂ槡 ）＝－ａ槡－ａｂ． 故选Ａ． 六、运用商的算术平方根的性质 当被开方数是分式时，应先使分母变成能开得尽方 的因式，然后运用商的算术平方根的性质进行化简． 例６　化简： ７ｃ １２ａｂ槡 ２． 分析：将分式的分子、分母同时乘以３ａ，使分母变成能 开得尽方的因式，运用商的算术平方根的性质进行化简． 解： ７ｃ １２ａｂ槡 ２ ＝ ７ｃ·３ａ １２ａｂ２·３槡 ａ＝ ２１槡 ａｃ ３６ａ２ｂ槡 ２ ＝ ２１槡 ａｃ６ａｂ． ! !" #$% 书 二次根式是初中数学 中的重要内容，二次根式的 应用主要有：运用二次根式 的性质解决有关化简、求值 的问题．下面举例进行说 明． 一、运用二次根式的非 负性化简代数式 例１　（２０２１娄底）２，５，