第六章 计数原理知识总结

第六章 计数原理 知识点一、计数原理 1.分类加法计数原理 概念:完成一件事有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,…,在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法(也称加法原理) 特征:(1)任何一类方案都能完成这件事;(2)各类方案之间相互独立;(3)分类要做到“不重不漏” 2.分步乘法计数原理 概念:完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,…,做第步有种不同的方法,那么,完成这件事共有种不同的方法(也称乘法原理) 特征:(1)任何一步都不能单独完成这件事;(2)各步之间相互依存;(3)分步要做到“步骤完整” 知识点二、排列 1.排列:一般地,从个不同元素中取出个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 2.排列数:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示 3.排列数公式:(,且) 知识点三、组合 1.组合:一般地,从个不同的元素中取出个元素合成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 2.组合数:从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示 3.组合数公式:(,且) 4.组合数的性质:(1);(2) 知识点四、二项式定理 1.二项式定理 概念:一般地,对于任意的正整数, 都有. 这个公式称为二项式定理,等号右边的式子称为的二项展开式,的二项展开式共有项,其中各项的系数叫做二项式系数,称为二项展开式的第项,又称为二项展开式的通项 2.二项展开式的特征: (1)二项展开式共有项; (2)二项式系数依次为组合数; (3)各项次数都等于二项式的幂指数; (4)字母的指数由开始按降幂排列到0,的指数由0开始按升幂排列到 3.二项式系数与项的系数的区别:二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分 4.二项式系数的性质 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性:当时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性知它的后半部分是逐渐减小的 最大值:当是偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值;当是奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值 5.二项式系数和: (1)二项展开式中各二项式系数之和为; (2)在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于. 类型一:两个基本计数原理的实际应用问题 例1 在某种信息传输过程中,4个数字组成的一个排列 (数字允许重复)表示一个信息,不同的排列表示不同的信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有2个对位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15 解析:方法1:分有0个时应位置上的数字相同、1个对应位显上的数字相同、2个时应位五上的数字相同讨论: (1)若有0个对应位五上的数字相同.则信息为1001,共有1个. (2)若有1个叶应位丑上的数字相同1101,1011,1000.共有4个. (3)若有2个时应位置上的数字相同,又分为以下情况 ①若位笠一与二对应相同,则信息为0101; ②若位五一与三时应相同,则信息为0011; ③若位五一与四对应相同,则信忽为0000; ④若位且二与三对应相同,则信息为1111; ⑤若位里二与四时应相同,则信忠为1100; ⑥若位置三与四时应相同、则信.息为1010.共有6个. 故与信息0110至多有2个对应位置上的数字相同的信息个数为 方法2:若有0个对应位置上的数字相同.共有1个; 若有1个对应位置上的数字相同。共有 (个); 若有2个对应位五上的数字相同,共有 (个). 故符合条件的信息共有 (个). 答案:B 解后反思:分类加法计数原理的实质是“整体”等于“部分”之和,就是把“整体”(即完成这一件事的方法)分成若于乒不相交的类,使得每一类中的元素的个数易于计算. 类型二:排列、组合应用问题 1. 排列、组合应用题的解题策略 (1) 特殊元素、位置优先安排的策略; (2) 合理分类与准确分步的策略; (3) 正难则反,等价转化的策略; (4) 相邻问题捆绑处理,不相邻问题插空处理的策略; (5) 元素定序,先排后除的策略; (6) 排列、组合混合题先组后排策略; (7) 复杂问题结构模型策略. 2. 排列、组合应用题是高考的一个重点内容,常与实际问题相组合进行考查,主要以选择题的形式出现,难度以中低档题目为主. 例2 六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 ( ) A.192 种 B. 216种 C.240种 D.288种 解析:甲在最左端时,有种不同的排法;乙在最左端时,最右端可排除甲、乙之外的4人中的任意1人,有4种排法,中间4个位置有种不同的排