第18章 勾股定理-2022春【精英新课堂】八年级下册初二数学（沪科版）

第18章勾股定理 变式思维训练十六 母题（教材P7习题T2) 已知：在△ABC中，AB=AC=17,BC=16.求△ABC的高AD 的长. 解：如答图，作AD⊥BC于点D. 在△ABC中，AB=AC=17,BC-=16BD=合BC=8, .在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=√17-82=15. 8 D 发散变式 1.已知在△ABC中，AB=10,AC=17,BC边上的高AD=8,则△ABC的面积为 (C) A.168 B.84 C.84或36 D.168或72 拓展变式 2.如图，已知在△ABC中，AB=17,BC=21,CA=10,求BC边上的高AD. 解：设CD=x,则BD=BC-CD=21-x. A 在Rt△ACD和Rt△ABD中， 根据勾股定理，得AD=AC一CDP=AB2一BD, 即102-x2=172-(21-x)2. B D 解得x=6,即CD=6. 则AD=/AC-CD'=/102-62=8. ·11 变式思维训练十七 母题（教材P练习T3) 在△ABC中，三边长a,b,c满足(a十c)(a-c)=,则△ABC是什么三角形？ 解：由(a十c)(a一c)=?,得a2=b+c2,'.△ABC是以a为斜边的直角三角形. 发散变式 1.若a,b,c是△ABC的三边长，且a,b,c满足(a-5)2+(b-12)2十c一13|=0. (1)求a,b,c的值； (2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由. 解：(1)由题意，得a一5=0，b一12=0，c一13=0. .a=5,b=12,c=13; (2)△ABC是直角三角形. 证明：，a2+=52+122=25+144=169,2=132=169, a2+62=c2, ∴.△ABC是直角三角形. 拓展变式 2.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 2 3 4 5 22-1 32-1 42-1 52-1 6 4 6 8 10 22+1 32+1 42+1 52+1 (1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示； (2)猜想：以α，b,c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想. 解：(1)由表得 当n=2时，a=22-1,b=2×2,c=22十1， 当n=3时，a=32-1,b=2×3,c=32+1, 当n=4时，a=42-1,b=2×4,c=42+1, ∴.a=n2-1,b=2m,c=n2+1: (2)以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 证明如下：，a2十}=(n2-1)2十4n2=n+2n2+1, c2=(n2+1)2=n+2m2+1, .a2+=c2, .以a,b,c为边的三角形是直角三角形. ·12· 变式思维训练十八 母题（教材Po习题T3) 已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.求四边形 ABCD的面积. 解：连接AC. ,∠B=90°，∴.△ABC为直角三角形.又：AB=3,BC=4,B6 ∴.根据勾股定理，得AC=√AB+B=5.又，CD=12,AD =13,∴.AD2=132=169,CD+AC=122+52=144+25=169,.CD+AC=AD, ·△ACD为直角三角形，∠ACD=90,则S题形MD=S△十SAD=?AB·BC+ 2AC,CD=号×3X4+2×5×12=36 发散变式 1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,若CD=12,AD=13.求阴影部分的 面积. 解：，在△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4, ∴.AC=AB+BC=√32+4=5. CD=12,AD=13, .'.AC+CD2=AD2, .△ACD是直角三角形，∠ACD=90°， ∴.S阴影=S△MD一S△ABC= 号×5X12-号×3×4=30-6=24. 拓展变式 2.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国 海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13 n mile的A,B两个基地 处前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇 每小时航行l20 n mile,乙巡逻艇每小时航行50 n mile,.航向 为北偏西40°，求甲巡逻艇的航向. 解：AB=13 n mile,AC=120×品=12(mil)),BC=50X B 品=5 n mile))∴AB=169=AC+BC=12+5,∴△ABC是直角三角形，ACL BC,∠CAB=∠NBC=40°，.甲巡逻艇的航向是北偏东50°. ·13·