17 专题十七：一次函数与二次函数交点问题——设而不求用韦达 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2020秋•天河区校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1． （1）求抛物线解析式； （2）直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标； （3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O、B移动后的坐标及L的最小值． 1．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）， ∴1， ∴m＝1， ∴点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3； （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 根据题意得，， ∴x2+（k﹣2）x﹣1＝0①， ∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣1， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣k）2+4， 要使|x1﹣x2|最小，则（x1﹣x2）2最小， ∴（k﹣2）2+4最小， 即k＝2时，|x1﹣x2|最小， ∴方程①可化为x2﹣1＝0， ∴x＝±1， ∴M（﹣1，0），N（1，4）； （3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴C（0，3），P（1，4）， ∴CP， ∵B（3，0）， ∴OB＝3， 如图，记OB平移后对应的点分别为O'，B'， ∴O'B'＝3， 设平移后点O'的坐标为（n，0）， 则B'（n+3，0）， 以CP，BP'为两边邻边作平行四边形CPB'E， 则CE＝B'P，E（n+3﹣1，0﹣1）， 即E（n+2，﹣1）， 过点C作直线m，使m∥x轴，作点O'关于直线m的对称点D（n，6）， ∴O'C＝DC， ∵L＝CP+O'B'+O'C+B'P3+DC+CE， 要使L最小，则DC+CE最小， 即点D，C，E在同一条直线上，DC+CE的最小值为DE， ∵C（0，3）， ∴设直线DE的解析式为y＝k'x+3， ∴， ∴， ∴O'（，0），B'（，0），D（，6），E（，﹣1）， ∴DE， ∴L最小值为3． 2．（2021•白银模拟）如图，抛物线L：yx2x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标； （2）如图1，点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PDAD的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线L：yx﹣3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式． 2．解：（1）∵抛物线L：yx2x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B， ∴点A（4，0），点B（0，﹣3）， 设直线AB解析式为：y＝kx﹣3， ∴0＝4k﹣3， ∴k， ∴直线AB解析式为：yx﹣3①， ∵yx2x﹣3（x）2， ∴抛物线顶点坐标为（，）； （2）∵点A（4，0），点B（0，﹣3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB5， 则sin∠BAO，则CD＝ADsin∠BAOAD， 则PDAD＝PD+DC＝PC为最大， 当点P为抛物线顶点时，PC最大， 故点P的坐标为（，）， 则PDAD的最大值＝PC为最大，最大值为； （3）设平移后的抛物线L'解析式为y（x﹣m）2②， 联立①②并整理得：x2﹣2（m）x+m20， 设点M（x1，y1），点N（x2，y2）， ∵直线AB与抛物线L'交于M，N两点， ∴x1，x2是方程x2﹣2（m）x+m20的两根， ∴x1+x2＝2（m）， ∵点A是MN的中点， ∴x1+x2＝8， ∴2（m）＝8， ∴m， ∴平移后的抛物线L'解析式为y（x）2x2x． 学科网（北京）股份有限公司 $