17 专题十七：一次函数与二次函数交点问题——设而不求用韦达 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2020秋•天河区校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1．

（1）求抛物线解析式；

（2）直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；

（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O、B移动后的坐标及L的最小值．

1．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），

∴1，

∴m＝1，

∴点A（﹣1，0），B（3，0），

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

根据题意得，，

∴x2+（k﹣2）x﹣1＝0①，

∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣1，

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣k）2+4，

要使|x1﹣x2|最小，则（x1﹣x2）2最小，

∴（k﹣2）2+4最小，

即k＝2时，|x1﹣x2|最小，

∴方程①可化为x2﹣1＝0，

∴x＝±1，

∴M（﹣1，0），N（1，4）；

（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴C（0，3），P（1，4），

∴CP，

∵B（3，0），

∴OB＝3，

如图，记OB平移后对应的点分别为O'，B'，

∴O'B'＝3，

设平移后点O'的坐标为（n，0），

则B'（n+3，0），

以CP，BP'为两边邻边作平行四边形CPB'E，

则CE＝B'P，E（n+3﹣1，0﹣1），

即E（n+2，﹣1），

过点C作直线m，使m∥x轴，作点O'关于直线m的对称点D（n，6），

∴O'C＝DC，

∵L＝CP+O'B'+O'C+B'P3+DC+CE，

要使L最小，则DC+CE最小，

即点D，C，E在同一条直线上，DC+CE的最小值为DE，

∵C（0，3），

∴设直线DE的解析式为y＝k'x+3，

∴，

∴，

∴O'（，0），B'（，0），D（，6），E（，﹣1），

∴DE，

∴L最小值为3．