14 专题十四：参数型函数与线段（直线）交点问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021秋•海珠区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2

（1）求抛物线解析式；

（2）若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是_____________．

1．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，

∴2，解得m＝4，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；

（2）∵抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，

抛物线的顶点坐标为（2，4），

当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，

∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜3的范围内有解，

∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点，

∴3＜t≤4．

故答案为：3＜t≤4．

2．（2021秋•越秀区期末）已知抛物线yx2+mx+m与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．

2．解：（1）∵抛物线yx2+mx+m与y轴交于点C（0，），

∴m，

解得：m＝﹣3，

∴该抛物线的解析式为：yx2﹣3x；

（2）在yx2﹣3x中，令y＝0，

得：x2﹣3x0，

解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，

∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

∵A（﹣5，0），C（0，），

∴，

解得：，

∴直线AC的解析式为yx，

如图1，设P（t，t2﹣3t），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，

则H（t，t），

∴PHt2﹣3t（t）t2t，

∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH

•PH•（xP﹣xA）•PH•（xC﹣xP）

•PH•（xC﹣xA）

（t2t）×[0﹣（﹣5）]

t2t

（t）2，

∴当t时，S△PAC取得最大值，

此时，点P的坐标为（，）；

（3）如图2，抛物线yx2﹣3x在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G，

∵yx2﹣3x（x+3）2+2，顶点为（﹣3，2），

∴图象G的函数解析式为：y（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），

∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线yx，

∴图象M的顶点坐标为（n，n），

∴图象M的函数解析式为：y（x﹣n）2n，

当图象M经过点C（0，）时，

则：（0﹣n）2n，

解得：n＝﹣1或n＝2，

当图象M的端点B在PC上时，

∵线段PC的解析式为：yx（x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直线yx，

∴联立可得：，

解得：，

将代入y（x﹣n）2n，可得：（n）2n，

解得：n或n（舍去），

∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：n≤﹣1或n＝2．