14 专题十四：参数型函数与线段（直线）交点问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021秋•海珠区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2 （1）求抛物线解析式； （2）若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是_____________． 1．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2， ∴2，解得m＝4， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x； （2）∵抛物线解析式为y＝﹣x2+4x， 抛物线的顶点坐标为（2，4）， 当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3， ∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜3的范围内有解， ∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点， ∴3＜t≤4． 故答案为：3＜t≤4． 2．（2021秋•越秀区期末）已知抛物线yx2+mx+m与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围． 2．解：（1）∵抛物线yx2+mx+m与y轴交于点C（0，）， ∴m， 解得：m＝﹣3， ∴该抛物线的解析式为：yx2﹣3x； （2）在yx2﹣3x中，令y＝0， 得：x2﹣3x0， 解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∵A（﹣5，0），C（0，）， ∴， 解得：， ∴直线AC的解析式为yx， 如图1，设P（t，t2﹣3t），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H， 则H（t，t）， ∴PHt2﹣3t（t）t2t， ∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH •PH•（xP﹣xA）•PH•（xC﹣xP） •PH•（xC﹣xA） （t2t）×[0﹣（﹣5）] t2t （t）2， ∴当t时，S△PAC取得最大值， 此时，点P的坐标为（，）； （3）如图2，抛物线yx2﹣3x在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G， ∵yx2﹣3x（x+3）2+2，顶点为（﹣3，2）， ∴图象G的函数解析式为：y（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2）， ∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线yx， ∴图象M的顶点坐标为（n，n）， ∴图象M的函数解析式为：y（x﹣n）2n， 当图象M经过点C（0，）时， 则：（0﹣n）2n， 解得：n＝﹣1或n＝2， 当图象M的端点B在PC上时， ∵线段PC的解析式为：yx（x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直线yx， ∴联立可得：， 解得：， 将代入y（x﹣n）2n，可得：（n）2n， 解得：n或n（舍去）， ∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：n≤﹣1或n＝2． 3．（2021秋•海珠区期末）已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0． （1）当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标； （2）求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上； （3）在（2）的结论下，解决下列问题： ①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标； ②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线G'，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线G'与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围． 3．（1）解：当m＝1时，抛物线G：y1＝x2﹣1，直线h：y2＝x+1， 令x2﹣1＝x+1，解得x＝﹣1或x＝0， ∴抛物线G与直线h交点的坐标为（﹣1，0）或（0，1）； （2）证明：令mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3＝mx+3﹣2m，整理得mx2﹣（4m﹣3）x+4m﹣6＝0， 即（x﹣2）（mx﹣2m+3）＝0，解得x＝2或x， 当x＝2时，y＝3；当x时，y＝0； ∴抛物线G与直线h的交点分别为（2，3）和（，0）， ∴必有一个交点在x轴上． （3）①证明：由（2）可知，抛物线一定过点（2，3）； ②解：抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3＝（mx﹣2m+3）（x﹣1）， 则抛物线G与x轴的交点为（1，0），（，0）， ∵抛物线G与抛物线G′关于原点对称， ∴抛物线G′过点（﹣1，0），（，0）， ∴抛物线G′的解析式为：y′＝﹣m（x+1）（x）＝﹣mx2﹣（3m﹣3）x﹣2m+3， 令﹣mx2﹣（3m﹣3）x﹣2m+3＝mx+3﹣2m，整理得mx2+（4m﹣3）x＝0， ∴x＝0