12 专题十二：参数型函数与定值、定关系问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021秋•荔湾区期末）已知抛物线G：y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1（m≠0）经过定点A，直线l：y＝kx+b经过点A和抛物线G的顶点B． （1）求点A的坐标； （2）求直线l的解析式； （3）已知点P为抛物线G上的一点，且△PAB的面积为2．若满足条件的点P有且只有3个，求抛物线的顶点B的坐标． 1．解：（1）∵y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1 ＝mx2﹣4mx﹣2x+4m+1 ＝m（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3， ∴x＝2时，y＝﹣3， ∴定点A（2，﹣3）； （2）∵y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1＝m（x）2， ∴顶点B（，）， 将点A和点B代入解析式y＝kx+b中，， 解得， ∴直线l的解析式为：y＝﹣x﹣1； （3）①当m＞0时，过点P作PG⊥x轴，交AB于点H，如图， 设点P（t，mt2﹣（4m+2）t+4m+1）， 由（2）可知，直线l的解析式为：y＝﹣x﹣1， ∴H（t，﹣t﹣1）， ∵△PAB的面积为2，满足条件的点P有且只有3个， ∴在直线AB的下方的点P只有1个，即PH最大， PH＝﹣t﹣1﹣[mt2﹣（4m+2）t+4m+1]＝﹣mt2+4mt+t﹣4m﹣2＝﹣m（t）2， ∵﹣m＜0， ∴当t时，PH有最大值， ∵S△PAB（2）PH＝2， ∴PH＝4m，即PH最大＝4m， ∴4m，解得m＝±， ∴m， ∴26， 37， ∴B（6，﹣7）； ②当m＜0时，过点P作PG⊥x轴，交AB于点H，如图， 在直线AB的上方的点P只有1个，即PH最大， PH＝mt2﹣（4m+2）t+4m+1+t+1＝mt2﹣4mt﹣t+4m+2＝m（t）2， ∵m＜0， ∴当t时，PH有最大值， ∵S△PAB（2）PH＝2， ∴PH＝﹣4m，即PH最大＝﹣4m， ∴4m，解得m＝±， ∴m， ∴22， 31， ∴B（﹣2，1）； 综上，B（6，﹣7）或B（﹣2，1）． 2．（2021秋•越秀区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3a）． （1）求点B的坐标； （2）若a，点M和点N在抛物线上，且M的横坐标为4，点N在第二象限，若∠AMN＝2∠OAM，求点N的坐标； （3）P是第四象限内抛物线上的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N，判断CM与CN的数量关系，并说明理由． 2．解：（1）∵A（﹣1，0）、C（0，﹣3a）在抛物线y＝ax2+bx+c上， ∴，可得， ∴y＝ax2﹣2ax﹣3a， 令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，而a＞0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴B（3，0）； （2）连接AM交y轴于D，过M作ME∥x轴交y轴于E，在y轴上取F，使EF＝ED，作直线MF交抛物线于N，如图： 由作图可知：∠EMA＝∠OAM，直线EM是DF的垂直平分线， ∴∠FME＝∠DME， ∴∠AMN＝2∠AME＝2∠OAM， 而a时，抛物线为yx2﹣x， ∵M的横坐标为4， ∴M（4，）， 由A（﹣1，0），M（4，）得直线AM的解析式为yx， 令x＝0得y， ∴D（0，）， ∵ME∥x轴， ∴E（0，）， ∴EF＝DE＝2， ∴F（0，）， 设直线MF为y＝kx，将M（4，）代入得：4k， ∴k， ∴直线MF为yx， 由得：或（舍去）， ∴N（﹣3，6）； （3）CN＝3CM，理由如下： 设P（m，am2﹣2am﹣3a），如图： 设直线PA解析式为y＝sx+t， 则，解得， ∴直线PA解析式为y＝（am﹣3a）x+am﹣3a， 令x＝0得y＝am﹣3a， ∴M（0，am﹣3a）， 而C（0，﹣3a）， ∴CM＝am， 设直线PB解析式为y＝s'x+t'， 则，解得， ∴直线PB解析式为y＝（am+a）x﹣3am﹣3a， 令x＝0得y＝﹣3am﹣3a， ∴N（0，﹣3am﹣3a）， 而C（0，﹣3a）， ∴CN＝3am， ∴CN＝3CM． 3．（2021秋•黄埔区期末）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标； （2）证明△BCM与△ABC的面积相等； （3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 3．解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m， ∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m）， ∵抛物线与x轴交于A、B两点， ∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0， ∵m＞0， ∴x2﹣4x﹣5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5， ∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0）， （2）当x＝0时，y＝﹣5m， ∴点C的坐标为（0，﹣5m）， ∴S△ABC|5﹣（﹣1）|×|﹣5m|＝15m， 过点M作MD