12 专题十二：参数型函数与定值、定关系问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021秋•荔湾区期末）已知抛物线G：y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1（m≠0）经过定点A，直线l：y＝kx+b经过点A和抛物线G的顶点B．

（1）求点A的坐标；

（2）求直线l的解析式；

（3）已知点P为抛物线G上的一点，且△PAB的面积为2．若满足条件的点P有且只有3个，求抛物线的顶点B的坐标．

1．解：（1）∵y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1

＝mx2﹣4mx﹣2x+4m+1

＝m（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3，

∴x＝2时，y＝﹣3，

∴定点A（2，﹣3）；

（2）∵y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1＝m（x）2，

∴顶点B（，），

将点A和点B代入解析式y＝kx+b中，，

解得，

∴直线l的解析式为：y＝﹣x﹣1；

（3）①当m＞0时，过点P作PG⊥x轴，交AB于点H，如图，

设点P（t，mt2﹣（4m+2）t+4m+1），

由（2）可知，直线l的解析式为：y＝﹣x﹣1，

∴H（t，﹣t﹣1），

∵△PAB的面积为2，满足条件的点P有且只有3个，

∴在直线AB的下方的点P只有1个，即PH最大，

PH＝﹣t﹣1﹣[mt2﹣（4m+2）t+4m+1]＝﹣mt2+4mt+t﹣4m﹣2＝﹣m（t）2，

∵﹣m＜0，

∴当t时，PH有最大值，

∵S△PAB（2）PH＝2，

∴PH＝4m，即PH最大＝4m，

∴4m，解得m＝±，

∴m，

∴26，

37，

∴B（6，﹣7）；

②当m＜0时，过点P作PG⊥x轴，交AB于点H，如图，

在直线AB的上方的点P只有1个，即PH最大，

PH＝mt2﹣（4m+2）t+4m+1+t+1＝mt2﹣4mt﹣t+4m+2＝m（t）2，

∵m＜0，

∴当t时，PH有最大值，

∵S△PAB（2）PH＝2，

∴PH＝﹣4m，即PH最大＝﹣4m，

∴4m，解得m＝±，

∴m，

∴22，

31，

∴B（﹣2，1）；

综上，B（6，﹣7）或B（﹣2，1）．

2．（2021秋•越秀区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3a）．

（1）求点B的坐标；

（2）若a，点M和点N在抛物线上，且M的横坐标为4，点N在第二象限，若∠AMN＝2∠OAM，求点N的坐标；

（3）P是第四象限内抛物线上的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N，判断CM与CN的数量关系，并说明理由．

2．解：（1）∵A（﹣1，0）、C（0，﹣3a）在抛物线y＝ax2+bx+c上，

∴，可得，

∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，

令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，而a＞0，

解得x＝﹣1或x＝3，

∴B（3，0）；

（2）连接AM交y轴于D，过M作ME∥x轴交y轴于E，在y轴上取F，使EF＝ED，作直线MF交抛物线于N，如图：