第05讲 乘法公式及最值等综合应用-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期精选专题思维拓展演练（苏科版）

第5讲 乘法公式及最值等综合应用 知识图谱 典题精练 【例1】 ⑴ 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形(>)(如图甲),把余下的 部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证( ) A. B. C. D. ⑵如图,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形,将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的恒等式为( ) A. B. C. D. ⑶计算 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥. 【解析】 ⑴ C;⑵C; ⑶①;②;③;④;⑤;⑥. 【例2】 计算⑴;⑵;⑶ ⑷ ;⑸;⑹ . 【解析】 ⑴;⑵⑶; ⑷;⑸ ;⑹. 【例3】 ⑴ 有若干张面积分别为,,的正方形和长方形纸片,阳阳从中抽取了1张面积为的正方形纸片,4张面积为的长方形纸片,若他想拼成一个大正方形,则还需要抽取面积为的正方形纸片为( ) A.2张 B.4张 C.6张 D.8张 ⑵ 化简:; ⑶; ⑷ ⑸ ⑹. 【解析】⑴ B; ⑵ ; ⑶ ; ⑷; ⑸; ⑹ 【例4】 ⑴ ; ⑵; ⑶ ; ⑷ . 【解析】⑴ ; ⑵ 原式==20002; ⑶原式===; ⑷ 【例5】 ⑴ 先化简,再求值:,其中 ⑵ 已知,求代数式的值. ⑶,其中. ⑷若,求代数式的值. 【解析】 ⑴ 原式, 当时,原式. ⑵ 原式 当时,原式. ⑶ 原式= ==+=. ⑷ 原式=. 【例6】 ⑴ 若,求的值. ⑵ 已知,求的值. 【解析】 ⑴ . ⑵ ,. 【例7】 ⑴已知,求的值. ⑵已知,求的值. ⑶已知,求① ;② . ⑷已知,,求的值. 【解析】⑴ 条件化简得,. ⑵ ,所以,故. ⑶ ①=45. ②===. ⑷ , . 【例8】 已知,求 ① ;② . 【解析】 ① ∵ ∴, 则两边同时除以得, ② =. 思维拓展训练(选讲) 训练1. 请设计一个几何图形,验证. 【解析】 训练2. 已知实数,满足,,求的值.(北大附期末考试) 【解析】 ① ② ①+②得. ①②得. ∴. 训练3. ⑴ 求的个位数字 ⑵ 化简计算: 【解析】 ⑴ 个位数字的循环个一周期,周期为:、、、,,所以个位为,故个位为. ⑵ 训练4. ⑴ 求的值. ⑵ 【解析】 ⑴. ⑵ 设, 则==. 训练5. 把代数式通过配凑等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件,这种解题方法通常被称为配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用. 例如:若代数式M=a2﹣2ab+2b2﹣2b+2,利用配方法求M的最小值: a2﹣2ab+2b2﹣2b+2=a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1=(a﹣b)2+(b﹣1)2+1. ∵(a﹣b)2≥0,(b﹣1)2≥0,∴当a=b=1时,代数式M有最小值1. 请根据上述材料解决下列问题: (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式:a2+4a+ ; (2)若代数式M=+2a+1,求M的最小值; (3)已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2=0,求代数式a+b+c的值. 【答案】(1)4;(2)M的最小值为﹣3;(3)a+b+c=. 【解析】(1)∵a2+4a+4=(a+2)2故答案为:4; (2)M=+2a+1=(a2+8a+16)﹣3=(a+4)2﹣3∴M的最小值为﹣3 (3)∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2=0,∴(a﹣b)2+(b﹣1)2+(2c﹣1)2=0, ∴a﹣b=0,b﹣1=0,2c﹣1=0∴a=b=1, ,∴a+b+c=.. 训练6. 若x满足(7﹣x)(x﹣4)=2,求(x﹣7)2+(4﹣x)2的值: 解:设7﹣x=a,x﹣4=b,则(7﹣x)(x﹣4)=ab=2,a+b=(7﹣x)+(x﹣4)=3 所以(x﹣7)2+(4﹣x)2=(7﹣x)2+(x﹣4)2=a2+b2=(a+b)2﹣2ab=32﹣2×2=5 请仿照上面的方法求解下面的问题:(1)若x满足(8﹣x)(x﹣3)=3,求(8﹣x)2+(x﹣3)2的值; (2)已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点,且AE=2,CF=5,长方形EMFD的面积是28,分别以MF、DF为边作正方形,求阴影部分的面积. 【答案】(1)19;(2)33. 【详解】(1)设8﹣x=a,x﹣3=b,则(8﹣x)(x﹣3)=ab=3,a+b=(8﹣x)+(x﹣3)=5, ∴(8﹣x)2+(x﹣3)2=(a+b)2﹣2ab=52﹣2×3=19; (2)∵正方形ABCD的边长为x,AE=2,CF=5,∴MF=DE=x﹣2,DF=x﹣5, ∴(x﹣2)•(x﹣5)=28,∴(x﹣2)﹣(x﹣5)=3, ∴阴影部分的面积=FM2﹣DF2=(x﹣2)2﹣(x﹣5)2; 设x﹣2=a,x﹣5=b,