专题02 勾股定理（知识点梳理+经典例题+变式训练）-2021-2022学年八年级数学下学期期中期末满分必刷常考压轴题（人教版）

专题02 勾股定理 （知识点梳理+典例剖析+变式训练） 【知识梳理】 【典例剖析】 考点1 利用勾股定理求线段长度 【典例1】（2019春•长白县期中）直角三角形的两直角边是6和8，则第三边是（　　） A．7 B．10 C．2 D．10或2 【答案】B 【解答】解：∵两直角边是6和8， ∴第三边＝＝10． 故选：B． 【变式1】（2019春•新化县期末）若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为（　　） A．3 B． C．3或 D．不确定 【答案】C 【解答】解：当5是直角边时，则第三边＝＝； 当5是斜边时，则第三边＝＝3． 综上所述，第三边的长是或3． 故选：C． 【变式2】（2019春•阳东区期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠A＝45°，CD⊥AB， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD＝AD＝1， 又∵∠B＝30°， ∴Rt△BCD中，BC＝2CD＝2， ∴BD＝＝， 故选：C． 考点2 用勾股定理表示数轴是上的实数 【典例2】（2021春•前郭县期末）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A．2﹣1 B．2 C．2.8 D．2+1 【答案】A 【解答】解：由题意得，AB＝2， 由勾股定理得，AC＝＝＝2， ∴AD＝2， 则OD＝2﹣1，即点D表示的数为2﹣1， 【变式】（2021秋•内乡县期末）如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（　　） A． B．﹣1 C． D．2﹣ 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1， 由勾股定理得，AC＝， 则点D表示的数为﹣1． 故选：B． 考点3 勾股定理与网格问题 【典例3】（2021春•安丘市期中）如图，方格纸中小正方形边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，则C到AB的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：AB＝＝2． 则S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×2×3﹣×1×4＝7， 设点C到AB边距离为h，则×h×AB＝7， 解得：h＝＝． 故选：B． 【变式】（2021春•海淀区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝， ∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣1×3﹣2×3＝， ∴AC•BD＝， ∴•BD＝7， ∴BD＝， 故选：D． 考点4勾股定理与图形面积问题 【典例4】（2021秋•玉门市期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（　　） A．13 B．26 C．34 D．47 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+52＝34， 同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13， ∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47， 故选：D． 【变式1】（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　） A．6 B．36 C．64 D．8 【答案】B 【解答】解：面积为100的正方形的边长为10，面积为64的正方形的边长为8， 由勾股定理得，正方形A的边长＝＝6， ∴正方形A的面积为36， 故选：B． 【变式2】（2021秋•和平区期末）如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若S1＝9π，S2＝16π，则S3＝　 　． 【答案】25π 【解答】解：设面积为S1的半圆的直径为a，面积为S2的半圆的直径为b，面积为S3的半圆的直径为c， 由勾股定理得：a2+b2＝c2， 由题意得：×π×（）2＝9π，×π×（）2＝16π， 则a2＝72，b2＝128， ∴c2＝200， ∴S3＝×π×（）2＝25π， 故答案为：25π． 考点5 勾股定理应用 【典例5-1】（2021秋•济宁期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 　　步路．（假设2步为1米） 【答案】8 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m， ∴AB＝＝10（m）， 则（8+6