必考点01 二次根式的有关概念和性质-【对点变式题】2021-2022学年八年级数学下学期期中期末必考题精准练（人教版）

2021-2022学年八年级数学下学期期中期末必考题精准练 必考点01 二次根式的有关概念和性质 ●题型一 二次根式的定义 【例题】下列各式一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B; 【分析】根据二次根式的概念及二次根式有意义的条件进行分析判断. 【解答】解:A、当a>0时,没有意义,故此选项不符合题意; B、无论a为何值,a2+1≥1,∴一定是二次根式,故此选项符合题意; C、是三次根式,故此选项不符合题意; D、3﹣π<0,∴没有意义,故此选项不符合题意; 故选:B. 【解题技巧提炼】 1、一般地,我们把形如( )的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 2、从形式上看,二次根式必须具备以下哪两个条件: (1) 含有“ ”;(2)被开方数为非负数. 3、二次根式的定义是从形式上界定的,必须含有二次根号,不能从结果上来判断,如:是二次根式,“”的根指数是2,一般把根指数2省略,不要误以为没有. ●题型二 二次根式有意义的条件 【例题1】二次根式 在实数范围内有意义,则x的取值范围是( ). A.x≥0 B.x≥﹣1 C.x≥1 D.x≤﹣1 【答案】C 【分析】解题关键:理解被开平方数的取值范围:大于或等0. 【解答】解:当2x﹣2时,即x≥1时,在实数范围有意义. 【例题2】(2021秋•晋州市期末)若式子有意义,则x的取值可以是( ) A.0 B.2 C.5 D.3 【答案】D. 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解. 【解答】解:由题意可得, 解得:x≥3且x≠5, A、0<3,故此选项不符合题意; B、2<3,故此选项不符合题意; C、x=5时,原式没有意义,故此选项不符合题意; D、x取3时,原式==0,故此选项符合题意; 故选:D. 【点评】本题考查二次根式和分式有意义的条件,理解二次根式的有意义的条件(被开方数为非负数),分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键. 【解题技巧提炼】 1、二次根式有意义的条件是:被开方数应是非负数,即有意义 a≥0 . 2、如果一个式子含有多个二次根式,那么这个式子有意义的条件是:各个二次根式的被开方数都必须为非 负数; 3、 如果一个式子中既含有二次根式又含有分式,那么这个式子有意义的条件是:二次根式的被开方数是非负数,且分式的分母不为0,例如:的式子有意义的条件是:. ●题型三 二次根式的性质 ◎◎利用二次根式的性质计算 【例题1】计算:(1); (2); (3) ; (4). 【答案】(1);(2)6;(3)8;(4). 【考点】二次根式的性质与化简 【分析】直接利用二次根式的或性质化简求解. 【解答】(1); (2) (3) ; (4) . ◎◎利用二次根式的性质化简 【例题2】(2021秋•安居区期末)若x<1,则化简的正确结果是( ) A.2 B.﹣2 C.6 D.6﹣2x 【考点】二次根式的性质与化简; 【分析】由已知可得x﹣2<﹣1<0,4﹣x>3>0,原式可化为|x﹣2|+4﹣x,根据绝对值的定义进行计算即可得出答案. 【解答】解:∵x<1, ∴x﹣2<﹣1<0,﹣x>﹣1, ∴4﹣x>﹣1+4, 即4﹣x>3>0, ∴ =|x﹣2|+4﹣x =﹣(x﹣2)+4﹣x =﹣x+2+4﹣x =6﹣2x. 故选:D. ◎◎利用二次根式的非负性求代数式的值或字母的取值范围 【例题3】若实数a,b满足(a﹣2)2+ =0,则(a+b)2022= . 【答案】1 【考点】二次根式的性质与化简; 【分析】根据平方的非负性、二次根式的非负性可求出a、b的值,再代入计算.注意:负数的奇次幂是负数,偶次幂是正数. 【解答】解:∵(a﹣2)2+ =0, ∴a﹣2=0,b+3=0, 解得a=2,b=﹣3, ∴(a+b)2022=(2﹣3)2022=1, 故答案为:﹣1. 【例题4】若实数x,y满足y<,求的值. 【考点】二次根式有意义的条件;绝对值的非负性; 【分析】先根据二次根式的定义可求出x的范围,即可知x的值,再根据y的值去掉绝对值符号即可. 【解答】依题意得 . ∴x=1,则y<1, ∴原式= =-1. ◎◎利用数轴和二次根式的性质进行化简 【例题5】(2021秋•市中区期末)实数a在数轴上的位置如图所示,化简:|a﹣2|+= . 【考点】二次根式的性质与化简;实数与数轴; 【分析】利用完全平方公式将a2﹣2a+1进行因式分解,再借助数轴,判断a﹣2与a﹣1的符号,再利用二次根式的性质,绝对值的性质进行化简. 【解答】解:由数轴可知:a﹣2<0,a﹣1>0, 原式=|a﹣2|+ =|a﹣2|+|a﹣1| =﹣(a﹣2)+(a﹣1) =﹣a+2+a﹣1 =1, 故答案为:1. 【点评】本题考查了二次根式的化简及绝对值的性质,关键在于结合数轴判