6.3二项式定理（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3 二项式定理 一、单选题 1．如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（       ） A．256 B．512 C．1024 D．1023 2．在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 3．若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（       ） A． B． C． D． 4．已知，则＝（       ） A．280 B．35 C． D． 5．旅游体验师小李受某旅游网站邀约，决定对甲､乙､丙､丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为m，那么二项式的展开式中的系数为（       ） A．60 B．80 C．2800 D．4500 二、多选题 6．已知二项式的展开式中所有项的系数和为，函数，且，则函数取最大值时的取值为（        ） A． B． C． D． 7．关于的二项展开式，下列结论正确的是（       ） A．展开式中所有项的系数之和为256 B．展开式中含x的一次项为 C．展开式中有3项有理项 D．展开式中系数最大项为第3项和第4项 8．已知，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 三、填空题 9．展开式的常数项为__________． 10．的展开式中的系数为________用数字填写答案 11．设，则_________. 四、解答题 12．已知，其中． (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． 13．求下列各展开式中的指定项： (1)展开式中的第4项； (2)展开式中的第3项． 14．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等． (1)求n的值； (2)求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）． 参考答案： 1．B 【解析】 【分析】 由图形以及二项式系数和的有关性质可得. 【详解】 由图知，第10行的所有数字之和为， 由二项式系数和的性质知，第10行排在偶数位置的所有数字之和为． 故选：B 2．C 【解析】 【分析】 根据二项式定理，展开项系数中，当n为奇数时最中间的那一项最大. 【详解】 依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8， 二项式展开项的通项公式为： ， ， ∴ 的系数为 故选：C. 3．A 【解析】 【分析】 首先写出的展开式的通项，再令和，分别求出，即可得到含的项的系数，从而得到方程，解得即可； 【详解】 解：因为， 其中的展开式的通项公式为，，令，解得，又令，解得.此时含的项的系数为，解得. 故选：A. 4．D 【解析】 【分析】 将二项式变形为，利用二项式展开式，即可求得结果. 【详解】 由题意得： ， 所以＝， 故选：D 5．B 【解析】 【分析】 先分甲景区最后旅游和甲景区不最后旅游两种情况，计算出m，再按照二项展开式求项的系数. 【详解】 若甲景区最后旅游，则乙､丙，丁三个景区任意排，故有种，若甲景区不最后旅游，则丙景区最后旅游，故有种， 根据分类计数原理，共有种，二项式的展开式中的系数为，的系数为80. 故选：B. 6．BC 【解析】 【分析】 令，可得展开式中所有项的系数和，即可求出的值，从而可得出再利用二项式系数最值性即可求解. 【详解】 因为二项式的展开式中所有项的系数和为512， 令，得 所以，二项式展开式有10项， 则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大， 所以当或5时，最大， 故选：BC 7．BCD 【解析】 【分析】 对于A：令，即可判断； 对于B：写出通项公式，令即可判断； 对于C：写出通项公式判断有理项即可； 对于D：由，解出即可得到系数最大项. 【详解】 对于A：令，得所有项的系数之和为，故A错误； 对于B：通项公式为，令，则含x的一次项为，故B正确； 对于C：由知，当时为有理项，共3项，故C正确； 对于D：由，解得，即系数最大项为第3项和第4项,故D正确. 故选：BCD. 8．BC 【解析】 【分析】 分别令，，，求出对应的A，B，C选项，然后再求出展开式中含的项即可求出，由此即可判断． 【详解】 令，则①，故A错误； 令，则，故B正确； 令，则②， ①②可得：，故C正确； 展开式中含的项为， 故，所以D错误， 故选：BC 9．3 【解析】 【分析】 用通项写出第r+1项，整理后令x的指数为0解出r，然后可得. 【详解】 ，令，得， 所以常数项为. 故答案为：3 10．20 【解析】 【分析】 直接用二项式定理讨论即可. 【详解】 二项式中，， 当中取x时，这一项为，所以，， 当中取y时，这一项为，所以，，所以展开式中的系数为 故答案为： 11