6.3二项式定理（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3 二项式定理 （基础知识+基本题型） 知识点一 二项式定理的猜想及证明 1．观察初中学习过的的特征： （1）左边是，右边的展开式含有3项； （2）右边的展开式也可以表示为，按的降幂排列，由此可见，右边的展开式中的每一项含有，且的指数和都是2； （3）右边的展开式按的降幂排列后，各项的系数分别为1,2,1． 从组合的观点看，的展开式中的项共3类，每一类都需要两个步骤完成： （1）不含的项，即，是在两个因式中不取，都取，共有个； （2）含1个的项，即，是在两个因式中一个取，一个取，共有个，即； （3）含的项，是在两个因式中都取，不取，共有个． 所以． 根据上面的分析，可以猜想： ． ． ．．．．．． ． 2． 对任意正整数，叫做二项式定理．等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数（）叫做二项式系数． 用数学归纳法证明二项式定理如下： （1）当时，左边右边，所以等式成立． （2）假设当时等式成立，即； 当时，有 ， 所以当时等式也成立．由数学归纳法，知等式对一切都成立． 在上述证明过程中，使用了组合数的性质，． 知识点二 二项式定理中二项展开式的特点 （1）共有项，比二项式的次数大1； （2）各项的次数（即，的次数和）都等于二项式的次数； （3）在排列方式上，按照字母的降幂排列．从第一项起，字母的次数由次逐项减少1次直到0次，同时字母按照升幂排列，次数由0次逐项增加1次直到次； （4）二项展开式中，二项式系数依次为，，，…，，这是一组仅与二项式的次数有关的个组合数，与，无关． 知识点三 二项展开式的通项 在二项展开式中，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，． 提示 （1）通项是的展开式的第项，这里0，1，2，…，． （2）字母，是一种“符号”，可以是数、式或其他，只要具备二项式的形式，就可以用二项式定理写出其展开式，如的展开式的通项为，的展开式的通项为 ． （3）的第项与的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和不能随便交换． （4）二项式系数都是组合数（），它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念． （5）利用二项展开式的通项可以求出二项展开式中某些特殊的项（如常数项、含的次幂的项、有理项等）． 知识点四 “杨辉三角”及其蕴含的规律 当1，2，3，4，5，6时，分别计算的二项式系数，将结果写成如图的形式： … 1 1 … 1 2 1 … 1 3 3 1 … 1 4 6 4 1 … 1 5 10 10 5 1 … 1 6 15 20 15 6 1 从上面可以看出如下规律： （1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； （2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．事实上，设表中任一不为1的数为，那么它肩上的两个数分别为及，容易证明：． （3）当7，8，…时，上面的规律依然成立． 上图称为杨辉三角．由杨辉三角可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数． 知识点五 二项式系数的性质 二项式系数的性质如下表所示： 性质 自然语言 符号语言 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （，，） 增减性 二项式系数（，，）， 当时，二项式系数是逐渐增大的． 由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数是，中间的两项相等，且同时取得最大值 二项式系数（，，），当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数是，中间的两项，相等，且同时取得最大值 各二项式系数的和 （1）的展开式的各个二项式系数的和等于； （2）在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 （1）； （2）． 拓展 对于也可以从集合的角度解释．设是含有个元素的集合，求的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集（即空集）有个，含1个元素的子集有个，含2个元素的子集有个，…，含个元素的子集有个，故所有子集的个数为． 知识点六 二项展开式的系数问题 求二项展开式系数的和的方法: （1）求二项展开式系数的和的关键是给字母赋值; （2）一般地，多项式各项的系数和为，奇数项的系数和为，偶数项的系数和为言，如二项式系数的 性质及的证明就是赋值法在二项展开式中的运用“典范”． 类型一、求二项