6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （基础知识+基本题型） 知识点一 分类加法计数原理 1． 概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2． 推广：完成一件事有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 提示 （1）分类加法计数原理中的“完成一件事情有两类不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分成两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成这件事，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中． （2）对问题进行“分类”时的思路 首先，分类时要根据问题的特点确定一个分类标准．一般地，标准不同，分类的结果也不同． 其次，分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于且只能属于某一类方案． 简单地说，就是应用分类加法计数原理时要做到“不重不漏”． 知识点二 分步乘法计数原理 1． 概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2． 推广：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 提示 （1）分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法都要分成两个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事，这就是说，每个步骤都不足以完成这件事，两个步骤彼此间也不能有重复和遗漏． （2）对问题进行“分步”时的思路：分步时，要根据问题的特点确定分步标准，标准不同，分成的步骤数也会不同．一个合理的分步应满足： ①完成这件事必须且只需连续做完所分步骤，即分别从各个步骤中选一种完成该步骤的方法，将各步骤方法依次串联在一起就得到完成这件事的一种方法； ②完成任何一个步骤可选用的方法数与其他步骤选用的方法无关． 简单地说，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”． 知识点三 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 1．联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决有关做一件事的不同方法种数的问题，它们都是把一个原始事件分解成若干个事件来完成． 2．区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事，共有类办法，关键词是“分类” 完成一件事，共分步骤，关键词是“分步” 区别二 每类办法都能独立第完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步都只是中间过程，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步就不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 知识点四 应用两个计数原理解应用题的方法 1．枚举法 枚举法就是指完成一件事的方法种树有限，可以先一一列举出来，再一种一种地数，进而确定完成这件事共有多少种方法．有些列式困难或数目较少的问题都可以用此种方法．列表和画树形图是枚举法的常用手段． 2．字典排序法 字典排序法就是把所有的字母分前后，先排前面的字母，前面的字母排完后，再依次排后面的字母，最后的字母排完，则排列结束． 利用字典排序法并结合分布乘法计数原理可以解决与排列顺序有关的计数问题，利用字典排序法还可以把这些排列不重不漏地一一列举出来． 3．模型法 模型法就是通过构造图形，利用形象、直观的图形帮助我们分析解决问题的方法． 知识点五 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前明确问题中的“完成一件事”指的是什么，再仔细分析需要分类还是分步，依据是能否独立完成一件事． (1)分类要做到“补充不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“步骤完整”．完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理．把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 提示 （1）有些计数问题既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，此时就要注意综合运用两个计数原理解决这类问题．解决这类问题时，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要有明确的分类标准和分步程序． (2)在急需要分类又需要分步的题目中，可以先根据对题意的理解，合理地画出示意图（如树形图）或列出表格，使问题的实际能直观的表示出