2.6.2函数的极值（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.6.2函数的极值（讲义+典型例题+小练） 函数的极值与其导数的关系： 1.①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。 ②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。 ③求极值的步骤： 第一步：求导数； 第二步：求方程的所有实根； 第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化， 若的符号由正变负，则是极大值； 若的符号由负变正，则是极小值； 若的符号不变，则不是极值，不是极值点。 例：1．函数的极大值点为（       ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【解析】 【分析】 求导，令导数等于0，然后判断导数符号可得，或者根据对勾函数图象可解. 【详解】 令，得， 因为时，，时，，所以时有极大值； 当时，，时，，所以时有极小值. 故选：B 2．函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（       ） A．的极小值点为， B．的极大值点为 C．有唯一的极小值 D．函数在上的极值点的个数为 【答案】D 【解析】 【分析】 根据图象直接判断即可. 【详解】 由图像可知，的极小值点为，极大值点为，故A，B选项错误； ，为的极小值点，故C错误； 由极值点的概念知函数在上的极值点是，，个数为2，D正确； 故选：D. 3．已知函数，则的极小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据导数判断函数的单调性，进而求得极小值. 【详解】 由，得， 令，解得或， 故函数在，上单调递减，在上单调递增， 故函数在时取极小值， 故答案为：. 4．已知函数，. (1)若时，求：函数的极值； (2)若曲线在处的切线与直线平行，求：实数的值. 【答案】(1)极大值，极小值4 (2) 【解析】 【分析】 （1）首先求出函数的导函数，令，即可得到、与的关系表，从而求出函数的极值； （2）求出函数的导函数，再根据得到方程，解得即可； (1) 解：因为， 则， 所以，令，解得. 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，取极大值，，即函数的极大值为， 当时，取极小值，，即函数的极小值为； (2) 解：因为，所以， 因为直线的斜率，即， 解得. 举一反三 1．已知函数，则（       ） A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值 C．函数的极大值为0，无极小值 D．函数的极小值为0，无极大值 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数来求得的极值. 【详解】 的定义域为， ， 在递增；在递减， 所以的极大值为，没有极小值. 故选：A 2．已知函数在区间有且仅有2个极值点，则 m 的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据导数的性质，结合余弦型函数的性质、极值的定义进行求解即可. 【详解】 由， ， 因为在区间有且仅有2个极值点， 所以令，解得，因此有， 故选：A 3．已知函数，是函数的一个极值点，则______． 【答案】无解 【解析】 【分析】 根据极值点处的导函数值为零，然后再检验极值点是否存在即可求解. 【详解】 因为，则， 由于是函数的一个极值点， 所以， 当时，，因此函数在上单调递减，函数无极值，故不存在满足条件的值. 故答案为：无解 4．设函数. (1)求在处的切线方程； (2)求的极小值点和极大值点. 【答案】(1)； (2)极大值点，极小值点. 【解析】 【分析】 （1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程； （2）利用导数研究f(x)的单调性，判断函数的极值点即可． (1) 函数，函数的导数为． ，， 在处的切线方程：，即． (2) 令，，解得，． 当时，可得，即的单调递减区间， 或，可得，∴函数单调递增区间，，． 的极大值点，极小值点． 5．设，函数. (1)若函数为奇函数，求实数a的值； (2)若函数在处取得极小值，求实数a的值. 【答案】(1) (2)1 【解析】 【分析】 （1）求出，根据奇函数的概念得到，即可求出结果； （2）利用导数求出函数的单调区间，进而求出极小值点，可得，即可求出结果. (1) 由已知，得， ，，∵为奇函数， ∴，，即，∴； (2) ， 当x变化时，的变化情况如下表： x a + 0 - 0 + 极大值 极小值 ∴，∴. 巩固提升 一、单选题 1．已知函数在处取得极值，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据极值点处导函数为零可求解. 【详解