2.6.3函数的最值（讲义+典型例题+小练)-2021-2022学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.6.3函数的最值（讲义+典型例题+小练) 函数的最值： ①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或） ②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。 ③求可导函数在闭区间上的最值方法： 第一步；求在区间内的极值； 第二步：比较的极值与、的大小： 第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。 注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。 2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值） 3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。 注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值； 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 例：1．函数的最大值为（       ） A．32 B．27 C．16 D．40 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数即可求解. 【详解】 因为，所以当时，； 当时，. 所以函数在上单调递增；在上单调递增,， 因此，的最大值为. 故选：A 2．函数，的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数的导数，根据导数在函数最值上的应用，即可求出结果. 【详解】 因为，所以， 令，又，所以或； 所以当时，；当时，； 所以在单调递增，在上单调递减； 所以； 又，，所以； 所以函数的值域为. 故选：D. 3．已知函数在上的最大值为2，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】 先求导可知原函数在上单调递增，求出参数后即可求出. 【详解】 解：在上 在上单调递增，且当取得最大值 ，可知 故答案为：1 4．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (1)，； (2)，． 【答案】(1)最小值为-1，最大值为8； (2)最大值为，最小值为3 【解析】 【分析】 求导后利用单调性求出极值点与极值，再求出端点值，比较极值与端点值的大小，确定最值. (1) ，，当时，，单调递减，当或时，，单调递增，故在处取得极大值，在处取得极小值，又，，，，因为，故最小值为-1，最大值为8； (2) ，，当时，，单调递减，当或时，，单调递增，故在处取得极大值，在处取得极小值，又，，，，因为，故最大值为，最小值为3 举一反三 1．函数在（0，e]上的最大值为（       ） A．－1 B．1 C．0 D．e 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值 【详解】 由，得， 当时，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 故选：A 2．已知函数，则函数在区间上的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件求得以及，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数在区间上的最小值. 【详解】 因为，故可得，则， 又，令，解得，令，解得， 故在单调递减，在单调递增，又， 故在区间上的最小值为. 故选：. 3．已知函数在上有零点，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数存在零点可知有解，设，利用导数求出函数的最小值，进而得出结果. 【详解】 由函数存在零点，则有解， 设， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 则时取得最小值，且， 所以m的取值范围是． 故选：C 4．当函数取得最小值时，x的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】 先对函数求导，然后求出其单调区间，从而可求出函数的最值，进而可得答案 【详解】 由（），得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值， 故答案为：5 5．已知函数，若曲线在处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1)； (2) 【解析】 【分析】 （1）根据函数的切线方程即可求得参数值； （2）判断函数在上单调性，进而可得最值. (1) 由已知可得． 又， 所以． (2) 由（1）可知，， 令，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减． 又，， 所以函数在上的最小值为． 巩固提升 一、单选题 1．函数在区间上的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值 【详解】 由，得，由，得或