特色专题三：函数的零点、隐零点问题（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

特色专题三：函数的零点、隐零点问题（讲义+典型例题+小练） 函数零点个数问题 用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数． 利用函数的极值(最值)判断函数零点个数，主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围． 题型一：利用最值(极值)、单调性判断零点个数 例1：已知，其中为实数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）当时，判断函数在上零点的个数，并给出证明． 【分析】（1）由题意在恒成立，转化为，求的最大值可得的取值范围是． （2），，因为转化为研究， ①当时， 在上单调递减，方程无法求解，引入隐零点： ，在上有一解， 且时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又， 在上有1个零点； ②当时，，则是一个零点； ③当时，令，则， 在上均单调递增，但方程也无法求解，引入隐零点： ， 在上有一解， 且当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 在上有一解，且时， ，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，， 在上恒成立， 此时在上无解； ④当时，在上恒成立， 在上单调递增， 又，， 在上有一个零点； 综上，在上有三个零点. 题型二、数形结合法研究零点问题　 例2： 已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x. (1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性； (2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围． 【解】　(1)F(x)＝ax2－2ln x，其定义域为(0，＋∞)， 所以F′(x)＝2ax－＝(x＞0)． ①当a＞0时，由ax2－1＞0，得x＞， 由ax2－1＜0，得0＜x＜， 故当a＞0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． ②当a≤0时，F′(x)＜0(x＞0)恒成立． 故当a≤0时，F