专题 关于球的外接与内切问题 2(外接球一般模型、内切球、多球与多面体相切)-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

关于球的外接与内切问题 2 题型四 一般模型 以上几种模型，都有具体的条件要求，它们对应有简便的求解方法，那现在提出一个一般情况的问题：如何求解任一锥体的外接球的半径？(这个问题解决了面积、体积等各种问题也不成问题). 预备知识：球体的截面都是圆，设两个不平行的截面小圆的圆心为，分别过作两个截面的垂线，则球心是两条垂线的交点. 不失一般性，如下图进行分析:已知三棱锥每条棱长度，求其外接球的半径. 解题步骤 ① 确定球心的位置：找出和的外心和，过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，此时点肯定共面； ② 求半径：这里提供二个思路 (1) 在中有，其中用正弦定理可求，而的求法各异，要根据二面角确定; (2) 在中有，其中是已知的，而可在四边形求解出，其中，所以四点共圆，是圆的直径则，接着根据题意再用平几的方法求解便可. 【典题1】 已知三棱锥中，和是全等的等边三角形，边长为，当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球表面积为 . 【解析】 如图，当平面平面时，三棱锥体积最大， 取中点，连接，则，， 因为平面平面，所以可证得平面，平面， 取三角形的外心，作，则四点共面， 取三角形的外心，过点作的平行线交于点， 因为垂直平面，则垂直平面， 于是点到四点的距离相等， 所以点为三棱锥外接球的球心． 连接，可求得，， 所以， 所以外接球表面积为． 【点拨】 本题中平面平面，是两平面垂直(即二面角为)的情况，球心还是比较好确定的，即过三角形的外心作的垂线交点，此时四边形是矩形，很多量都好求. 【典2】 如图所示，三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【解析】中，，， 设的外心为，外接圆半径为， 则， 取的中点，连接，则是线段的中垂线， 根据三角形外心的定义，可知点在直线上， ，点在外， 在中可得，，， 所以可得，即∠ABC， 取的中点，则可得为的外接圆的圆心，， 过分别作平面的垂线， 垂直且相交，设交点为，即为球心， 在中，， 所以外接球的表面积， 故选：． 【点拨】 ① 本题平面平面，属于两平面垂直(即二面角为)的情况，球心不难找，但是要细心些点在三角形内还是外； ② 思考 垂线会不会是异面直线，那它们就不交于点？ 分析 不会的， 平面平面，平面平面，面，， 同理，故点四点共面，其实题目求三棱锥的外接球，则两条垂直的交点一定是球心. 【典题3】 如图，四面体中，面和面都是等腰，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【解析】取中点，中点，连结， 四面体中，面和面都是等腰， ，，且二面角的大小为， ，，是二面角的平面角，， 2，，， ，， 则点为外接圆的圆心，点为外接圆的圆心， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线， 且直线与直线交于点，则点为四面体外接球的球心，为半径， 如下图所示， 易知，，所以， 所以，则四面体的外接球半径为， 因此球的表面积为， 故选：B． 【点拨】 ① 要注意常见三角形(等腰三角形、直角三角形、等边三角形等)外接圆圆心的位置； ② 这是典型的“折叠模型”，二面角不是，在找球心的时候，要确定两个“折面”的圆心，因为球心是过两个圆心的垂线交点. ③ 在求外接球半径时，把含两垂线和半径的平面四边形拿出来分析求出半径，要注意二面角的使用. 1(★★★) 已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】折叠型，法一：的外接圆半径为，， 法二：，，， 2(★★★) 三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 . 【答案】 【解析】，，， ，； 法二 ， ，，. 3(★★★) 如图，在菱形中，，，为对角线的中点，将沿折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】28π 【解析】过球心O作OO′⊥平面BCD，则O′为等边三角形BCD的中心， ∵四边形ABCD是菱形，A＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∵∠PEC＝120°，连接OP，OP＝OC，OE＝OE，PE＝CE， ∴△OPE≌△OCE，∴∠OEC＝∠OEP＝60°； ∵AB＝2，∴CE＝3，∴EO′＝1，CO′＝2，∴OO′， ∴球的半径OC． ∴三棱锥P－BCD的外接球的表面积为4π•7＝28π， 4(★★★) 已知四边形是边长为的菱形，对角线(如图1)，现以为折痕将菱形折起，使点达到点的位置．棱，的中点分别为，，且四面体的外接球球心落在四面体内部(如图2)，则线段长度的取值范围为 . 【答案】( ，4) 【解析】如图，由题意可知△APC的外心O1 在中线PE上， 设过点O1 的直线l1⊥平面APC，可知l1⊂平面