专题 关于球的外接与内切问题1(构造长方体求解、汉堡与垂面模型)-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

关于球的外接与内切问题 1 题型一 构造长方体求解 情况1 墙角模型 遇到以上四种三棱锥(有三条两两垂直的直线),均可构造长方体求解外接球半径; 求解外接球半径步骤 ① 确定球心的位置:外接球的球心是长方体的体对角线的中点; ② 求半径:长方体的体对角线即外接球直径,则. 情况2 对棱相等的三棱锥 若三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等(),求外接球半径. 求解外接球半径步骤 ① 确定球心的位置:如上图构造一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱; ② 求半径: 设长方体的长宽高分别为,,列方程组 求出. 【典题1】 如图,在三棱锥中,平面,,,,,则三棱锥外接球的体积为 . 【典题2】 如图,在三棱锥中,平面,,,, 若三棱锥外接球表面积为,则三棱锥体积的最大值为 . 【典题3】 在三棱锥中,,,,则该三棱锥外接球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 1(★★) 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积是 . 2(★★) 设,,,是球表面上的四点,平面,,, ,则球的表面积等于 . 3(★★) 在边长为的正方形中,,分别为,的中点.将,,分别沿,,折起,使,,三点重合于,则三棱锥的外接球表面积为 . 4(★★) 在三棱锥中,,则三棱锥外接球的表面积为 . 5(★★) 三棱锥,其中,则该三棱锥外接球的表面积为 . 题型二 汉堡模型 预备知识:球体的截面都是圆,设某个不过球心的小圆圆心为,则球心在过且垂直平面的直线上(即). 模型参考图像(棱柱以三棱柱为例) 模型条件:棱柱外接球问题 求解外接球半径步骤 ① 确定球心的位置:是柱体底面所在的球体截面圆心,则平面,由于柱体和外接球组合的几何体的对称性,则线段的中点是球心; ② 算出小圆的半径,; ③ 求半径:由勾股定理可得. 【典题1】已知三棱柱的六个顶点都在同一球面上,且底面,是等边三角形,,,则该球的表面积为( ) A. B. C. D. 【典题2】 已知直三棱柱的六个顶点都在球的球面上,,,,则球的表面积为( ) A.4π B.8π C.12π D.16π 1(★★) 一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为,则这个球的体积为 . 2(★★) 在直三棱柱中,则直三棱柱的外接球的表面积为 . 3(★★) 直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,则此球的表面积等于 . 题型三 垂面模型(一条直线垂直于一个平面) 情况1 模型参考图像(以三棱锥为例) 模型条件:中平面 解题步骤 ① 确定球心的位置:的外心,则平面且; ② 由正弦定理算出小圆的半径; ③ 求半径:由勾股定理. 情况2 预备知识:的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等 模型参考图像模型参考图像(以三棱锥为例) 模型条件:三棱锥中的射影是的外心. 解题步骤 ① 确定球心的位置: 取的外心,因为的射影是的外心,则球心在直线上; ② 由正弦定理算出小圆的半径,算出棱锥的高; ③ 求半径:,解出. 若是如下图的三棱锥(球心在锥体的下方),方法类似. 情况3 模型参考图像 (以三棱锥为例,其中是球心,是三角形的外接圆圆心,平面) 模型条件:三棱锥中的射影不是的外心. 解题步骤 ① 由算出小圆的半径,由题意求出三棱锥的高; (一般求有难度,需要确定点的位置) ② 确定球心的位置:球心在过且垂直平面的直线上,设; (一般求不出来,因为球心很难确定,若可以题目就比较简单了!) ③ 求外接球半径:在和中可得 求出,从而求出外接球半径. (多数情况当的射影不是的外心,需要在两个直角三角形中求出.) 【典题1】 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 . 【典题2】 已知三棱锥四个顶点都在球上,,,.则球的表面积为( ) A. B. C. D. 【典题3】 在四棱锥中,,,,,,,则三棱锥外接球的表面积为 . 1(★★★)在四面体中,平面,则该四面体的外接球的表面积为 . 2 (★★★) 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为,底面边长为,则该球的表面积为 . 3 (★★★) 已知正三棱锥的四个顶点都在球的球面上,且球心在三棱锥的内部,若该三棱锥的侧面积为,,则球的表面积为 . 4 (★★★) 在三棱锥中,,,为中点,,若该三棱锥的体积的最大值为,则其外接球表面积为 . 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!(北京)股份有限公司13 zxxk.com 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $关于球的外接与内切问题 1 题型一 构造长方体求解 情况1 墙角模型 遇到以上四种三棱锥(有三条两两垂直的直线)，均