专题10.2 分式的运算-重难点题型-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）【学科网名师堂】

专题10.2 分式的运算-重难点题型 【苏科版】 【知识点1 分式的加减】 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 【题型1 分式的加减】 【例1】（2021春•盐城月考）化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先通分再进行加减，即可得出答案； （2）先化简再进行加减，即可得出答案． 【解答】解：（1）原式1； （2）原式1． 【变式1-1】当m＞﹣3时，比较与的大小． 【分析】根据比较大小若a﹣b＞0，则a＞b，若a﹣b＜0，则a＜b，得，由已知m＞﹣3，则可得（m+3）＞0，m+4＞1，（m+3）（m+4）＞0，即可得出答案． 【解答】解： ， ∵m＞﹣3， ∴m+3＞0，m+4＞1， ∴（m+3）（m+4）＞0， ∴0， ∴． 【变式1-2】（2021•乐山）已知，求A、B的值． 【分析】根据异分母分式的加减法法则把等式的左边进行计算，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：， ∴， 解得． 【变式1-3】（2021春•河南期末）若a＞0，M，N （1）当a＝1时，M＝　　，N＝　　；当a＝3时，M＝　　，N＝　　； （2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想． 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）利用求差法比较M与N的大小关系，根据分式的加减法运算法则进行计算，最后判断其正负． 【解答】解：（1）当a＝1时，M，N， 当a＝3时，M，N， 故答案为：，，，； （2）M＜N，理由是： M﹣N， ， ， ∵a＞0， ∴（a+1）（a+2）＞0， ∴0， 即M﹣N＜0， ∴M＜N． 【题型2 分式与整式的混合运算 】 【例2】（2021•嘉兴一模）计算x+2时，两位同学的解法如下： 解法一：x+2 解法二：x+2 （1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”． （2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 【分析】（1）根据添括号法则判断解法一，根据提取公因式的方法判断解法二； （2）原式进行通分，然后再根据同分母分式加减法运算法则进行计算或者将原式通过提取公因式进行变形，然后结合乘法公式进行化简计算． 【解答】解：（1）解法一有错误， 解法一的做法相当于添括号，括号前面是负号，括号内的各项要改变符号， ∴原式， 解法二的做法相当于提取公因式， ∴原式 ， ∴解法二正确， （2）选择解法一： 原式 ； 选择解法二： 原式 ， ． 【变式2-1】（2021•梧州）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）． 【分析】将所求式子用完全平方公式、单项式乘多项式、分式加减法依次运算，然后再合并同类项即可． 【解答】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1） ＝x2﹣4x+4﹣x2+x+x﹣4 ＝﹣2x． 【变式2-2】（2021秋•昌平区期中）阅读下列材料，然后回答问题． 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式是假分式；，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：， ． 解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式； （2）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【分析】（1）原式利用阅读材料中的方法变形为整式和真分式之和即可； （2）原式利用阅读材料中的方法变形为整式和真分式之和，根据原式的值为整数，得到真分式为整数0，即可确定出x的整数值． 【解答】解：（1）原式1； （2）原式 ＝x ＝x ＝x﹣1， ∵原式的值为整数，且x为整数， ∴为整数，即x+3＝±1或x+3＝±3， 则x＝﹣2或﹣4或0或﹣6． 【变式2-3】（2021春•玄武区期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：xx﹣1，这样，分式就