专题2.3 二元一次方程组的应用（一）（重点题专项讲练）-2021-2022学年七年级数学下册从重点到压轴（浙教版）

专题2.3 二元一次方程组的应用（一） 【典例1】某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． 【思路点拨】 （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“甲、乙两个装修组同时施工8天，需付两组费用共3520元；甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，根据“请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可求出甲、乙两个装修组单独施工所需时间，利用总费用＝（每天需付装修费+200）×装修时间，可求出三个方案所需装修费用及耽误营业损失的费用之和，比较后即可得出结论． 【解题过程】 解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元． （2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n， 依题意得：， 解得：， ∴甲组单独完成装修所需时间为112（天）， 乙组单独完成装修所需时间为124（天）． 施工方案①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+200）×12＝6000（元）； 施工方案②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（140+200）×24＝8160（元）； 施工方案③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+140+200）×8＝5120（元）． ∵5120＜6000＜8160， ∴方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营． 1．（2021•安徽模拟）《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长？（一尺等于十寸） 【思路点拨】 设木长x尺、绳子长y尺，由题意：用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解题过程】 解：设木头长x尺，绳子长y尺， 根据题意得：， 解得：， 答：木头长6.5尺． 2．（2021•孝感二模）我国西汉时期张苍等人辑撰的《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”，其意思是：“今有若干人准备乘若干辆马车出行，如果每3人共乘1辆车，则有2辆车空出；如果每2人共乘1辆车，则有9人需步行．问：人数和马车数各是多少？”．请你解答此问题． 【思路点拨】 设共有x人，y辆马车，根据“如果每3人共乘1辆车，则有2辆车空出；如果每2人共乘1辆车，则有9人需步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解题过程】 解：设共有x人，y辆马车， 依题意得：， 解得：． 答：共有39人，15辆马车． 3．（2021秋•招远市期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题． 【思路点拨】 设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程组，解方程组即可． 【解题过程】 解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：小和尚有75人，大和尚有25人． 4．（2020春•武川县期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？ 【思路点拨】 设笼中有x只鸡，y只兔，根据“上有二十五头，下有七十六足”，即可得出关于x，y的二元一次