专题05 平行线几何模型之M型、笔尖型综合专练-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（北师大版）

专题05 平行线几何模型之M型、笔尖型综合专练(解析版) 错误率:_易错题号:_ 一、解答题 1.(1)问题发现 如图①,直线,是与之间的一点,连接,,可以发现:,请你写出证明过程; (2)拓展探究 如果点运动到图②所示的位置,其他条件不变,求证:. (3)解决问题 如图③,,,,则_.(直接写出结论,不用写计算过程) 【标准答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 【思路指引】 (1)根据平行判定得到,利用平行线的性质得,,得到,即可求证出答案; (2)类比(1),过点E作EF∥AB,然后根据平行线的判定和性质即可求证出答案; (3)类比,过点作,根据平行判定得到,再根据平行的性质得:,,根据角与角的关系求得:,则可求出答案. 【详解详析】 (1)证明:如图①,过点作, ∵(已知),(辅助线的作法). ∴(平行于同一直线的两直线平行), ∴(两直线平行,内错角相等). ∵, ∴, ∴(等量代换) 即. (2)证明:如图②,过点作, ∵(已知),(辅助线的作法). ∴(平行于同一直线的两直线平行). ∴,, ∴, ∴. (3)解:如图③,过点作, ∵(已知),(辅助线的作法), ∴(平行于同一直线的两直线平行), ∴,, ∵,, ∴, ∴, ∴. 故答案为:. 【名师指路】 本题考查平行线的判定和性质,解题的关键是作出辅助线,灵活运用平行判断以及平行线的性质找到角与角之间的关系. 2.如图,,定点,分别在直线,上,在平行线,之间有一个动点,满足. (1)试问:,,满足怎样的数量关系? 解:由于点是平行线,之间一动点,因此需对点的位置进行分类讨论.如图1,当点在的左侧时,易得,,满足的数量关系为;如图2,当点在的右侧时,写出,,满足的数量关系_. (2)如图3,,分别平分和,且点在左侧. ①若,则的度数为_; ②猜想与的数量关系,并说明理由; ③如图4,若与的角平分线交于点,与的角平分线交于点,与的角平分线交于点,以此类推,则与满足怎样的数量关系?(直接写出结果) 【标准答案】(1);(2)①130°;②,见解析;③∠EPF+22021∠EQ2020F=360° 【思路指引】 (1)过点P作PHAB,利用平行线的性质即可求解; (2)根据(1)的结论结合角平分线的定义,平角的定义,运用整体思想即可求解. 【详解详析】 解:(1)如图2,当点P在EF的右侧时,过点P作PMAB,则PMCD, ∴∠AEP+∠EPM=180°,∠PFC+∠MPF=180°, ∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF=360°, 即:∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°; 故答案为:∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°; (2)①由(1)得:∠DFQ+∠BEQ=∠EQF,∠PEA+∠PFC=∠EPF, ∵∠EPF=100°, ∴∠PEA+∠PFC=100°, ∵QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD, ∴∠DFP=2∠DFQ,∠BEP=2∠BEQ, ∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°, ∴∠PFC+2∠DFQ=180°,∠PEA+2∠BEQ=180°, ∴∠PFC+2∠DFQ+∠PEA+2∠BEQ=360°, ∴100°+2∠DFQ+2∠BEQ=360°, ∴∠DFQ+∠BEQ=130°, ∴∠EQF=∠DFQ+∠BEQ=130°, 故答案为:130°; ②∠EPF+2∠EQF=360°,理由如下: ∵QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD, ∴∠DFP=2∠DFQ,∠BEP=2∠BEQ, ∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°, ∴∠PFC+2∠DFQ=180°,∠PEA+2∠BEQ=180°, ∴∠PFC+2∠DFQ+∠PEA+2∠BEQ=360°, ∴∠PFC+∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)=360°, ∵由(1)得:∠DFQ+∠BEQ=∠EQF,∠PEA+∠PFC=∠EPF, ∴∠EPF +2∠EQF=360°; ③∵Q1E,Q1F分别平分∠QEB和∠QFD, ∴∠DFP=2∠DFQ=22∠DFQ1,∠BEP=2∠BEQ=22∠BEQ1, ∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°, ∴∠PFC+22∠DFQ1=180°,∠PEA+22∠BEQ1=180°, ∴∠PFC+22∠DFQ1+∠PEA+22∠BEQ1=360°, ∴∠PFC+∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)=360°, ∵由(1)得:∠DFQ1+∠BEQ1=∠EQ1F,∠PEA+∠PFC=∠EPF, ∴∠EPF +22∠EQ1F=360°; 同理可得:∠EPF +23∠EQ2F=360°,∠EPF +24∠EQ3F=360°,…… ∴∠EPF+22021∠EQ2020F=360°. 【名师指路】 本