专题06 空间向量与立体几何-【中职专用】上海市近十年春季高考数学真题分类汇编

专题06 空间向量与立体几何 1.（2021年春考17）. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 在四棱锥中，底面为正方形，且边长为4，为中点，平面. （1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积； （2）若的中点为，与平面所成角为45°，求与所成角的大小. 【答案】（1），（2）. 【解析】（1）∵正方形边长为4，△为等边三角形，为中点， ∴，； （2）如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，， ∴，， ∴， 即与所成角的大小为. 2．（2018春考7）．如图，在长方形中，，，， 是的 中点，则三棱锥的体积为__________． 【答案】5 3. （2018春考14）．如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线 异面的直线条数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】C 4.（2018春考19）．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点、、在抛物线上，是抛物线的对称轴，于，米，米． （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）在图3中，已知平行于圆锥的母线，、是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）． 【答案】（1）；（2）． 5.（2017春考17）. 如图，长方体中，，； （1）求四棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小； 【答案】（1）；（2）； 6.（2016春考25）．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC1与AC所成的角的大小． 【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3， ∴，解得h=4， ∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角， 在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5， ∴cos∠BC1A1==． ∴∠BC1A1=arccos． ∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos． 7.（2015春考25）（本题满分8分）如图，在正四棱柱中，，和平面所成角的大小为，求该四棱柱的表面积． 【答案】解：． 8（2014春考24）．如图，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点．已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为（ ） 【答案】D 9. （2014春考27）．（本题满分8分） 如图，在体积为的三棱锥中，与平面垂直，，，、分别是、的中点.求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【解答】解：由得， 因为，所以异面直线与所成的角为， 由直角三角形，则，异面直线EF与PC所成角为． 10.（2013春考9）在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 11. （2013春考25）.（本题满分7分） 如图，在正三棱锥中，，异面直线与所成角的大小为，求该三棱柱的体积。 [解]因为 . 所以为异面直线与.所成的角，即=。 在Rt中，, 从而, 因此该三棱柱的体积为. 12.（2012春考19）（本题满分12分）本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，M为线段AB的中点. 求： (1) 三棱锥的体积； (2) 异面直线CD与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解] (1)， 又为三棱锥的高 3分 . 6分 (2) ，为异面直线CD与所成的角（或其补角）. 8分 联结，平面，， 在中，. ， 10分 ，即异面直线CD与所成角的大小为. 12分 13（2011春考13）．有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB与CD所成的角的大小是_______________。 A B D C 【解】．与是正方形的边，则，，因为和是正三角形的两边，则与所成的角为． 14. （2011春考20）. (本题满分14分) 某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）。现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）. 【解】设圆锥的底面半径为，高为．由题意，圆锥的侧面扇形的周长为，圆锥底面周长为，则，． 圆锥的高为，圆锥的侧面扇形的面积为， 半球的面积为　．该蛋筒冰