第五章复数复习讲义——河南省新蔡县第一高级中学2021-2022学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

第五章复数（讲义+典型例题） 1． 数系的扩充和复数的概念 1.复数的定义：设为方程的根，称为虚数单位，形如的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用来表示. a为实部，b为虚部 2．复数集 例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（       ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可； 【详解】 解：是纯虚数，则，解得， 故选：C. （2）．（2021·全国·模拟预测）设i是虚数单位，则下列是虚数的是（       ） A．f B．g C．h D．i 【答案】D 【解析】 【分析】 由复数的定义可得答案. 【详解】 由复数的定义可得答案， 故选：D. 举一反三 （1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程的解为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 方程，即，开方即可求解． 【详解】 解：方程，即，开方得， 故选：C． （2）．（2021·福建泉州·一模）已知i是虚数单位，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数定义，求得命题逻辑关系. 【详解】 i是虚数单位，则，“”是“”的充分条件； 由，得，故“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 二．复数的几何意义 1. 复平面 在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴． 2.复数的坐标表示 点 3.复数的向量表示 向量． 4.复数的模 在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，． ( 复数 复平面 内的点 Z（a,b） 平面向量 ) 例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数（，为虚数单位），在复平面内所对应的点在上，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求出复数在复平面内所对应的点的坐标，代入，求得，再根据复数的模的公式即可得解. 【详解】 解：复数在复平面内所对应的点的坐标为， 因为点在上， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：B. （2）．（2021·全国·模拟预测）已知是虚数单位，复数的共轭复数在复平面中对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 化简复数，求出共轭复数，即可得到答案； 【详解】 ， ， 对应的点位于第一象限， 故选：A 举一反三 （1） ．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知，若在复平面内复数与对应的两点之间的距离为4，则（       ）． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意求得，结合，列出方程，即可求解. 【详解】 由题意，复数与， 可得， 即，解得. 故选：B. 1（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z满足，则（       ） A．1 B． C． D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 将等式两边同时取模可求解. 【详解】 将等式两边同时取模，有， 即，所以. 故选：B （3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数在复平面上对应的点在第四象限，则的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】 根据复数的代数形式及对应点在第四象限有，即可得m的范围. 【详解】 由题设，，可得. 故答案为：. (4)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数． (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【解析】 【分析】 （1）根据纯虚数，实部为零，虚部不为零列式即可； （2）根据第三象限，实部小于零，虚部小于零，列式即可 . (1) 因为为纯虚数, 所以 解得或，且且 综上可得,当为纯虚数时; (2) 因为在复平面内对应的点位于第三象限, 解得或，且 即,故的取值范围为. 三． 两个复数相等的定义：且（其中）特别地，. 例3（2022·浙江·模拟预测）设（i为虚数单位），则a＝（       ） A．－1 B．0 C．1 D．1或－1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数相等，即可求得a的值. 【详解】 因为， 所以有 ，即 ， 故选：C. 举一反三 (1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知，且，则的值