第07讲 正态分布-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

第07讲 正态分布 课程标准 课标解读 1． 通过误差模型初步了解服从正态分布 的随机变量的特点. 2.并能通过具体的实例，借助频率直方图的几何直观性，了解正态分布的特征，了解正态密度函数的性质. 3.了解正态分布的均值、方差及含义. 4.了解 原则，能通过具体的实例求会求指定区间的概率，以及解决简单的正态分布问题. 通过本节课的学习，要求在了解正态分布的含义基础上，能解决与正态分布相关的问题，根据正态密度曲线的对称性，增减性，求特定区间的概率，相应的参数及解决简单的正态分布的应用问题. 知识点 正态分布 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“” 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. 2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且 ），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：. ⑶正态曲线的性质. 1 曲线在x轴上方，与x轴不相交. 2 曲线是单峰的，关于直线对称. 3 当时曲线处于最高点，即x＝μ处达到峰值，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. ⑦当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为 ，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是 . 注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有 .比如 .则必然小于0，如图. ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通 常用表示，且有. 5. ⑴“3”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. ⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）. 6. 正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4. 【微点拨】正态分布下两类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 【即学即练1】设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且 ,则这个正态总体的平均数与标准差分别是(　　) A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 【即学即练2】关于正态分布N(μ， )，下列说法正确的是（       ） A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件 D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件 【即学即练3】正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为（       ） A．P1＝P2 B．P1＜P2 C．P1＞P2 D．不确定 【即学即练4】在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布 ， ，若 在 内的概率为0.8，则 落在 内的概率为（       ） A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2 【即学即练5】设随机变量 ，则 服从（       ） A． B． C． D． 【即学即练6】已知两种不同型号的电子元件(分别记为X，Y)的使用寿命均服从正态分布， ，这两个正态密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是(       ) 附：若 ，则 ． A． B． C． D．对于任意的正数t，有 【即学即练7】一批电阻的阻值X（单位：Ω）