第06讲 超几何分布-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

第06讲 超几何分布 课程标准 课标解读 1． 理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系； 2． 根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差； 3． 在实际问题中能用超几何概型解决实际问题. 通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题. 知识点 超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ ，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 【微点拨】1. 若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝． 2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几发布的特征是： （1）考察对象分两类； （2）已知各类对象的个数； （3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型. 3. 超几何分布和二项分布的区别： （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）； （3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布. 【即学即练1】下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（       ） A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为 B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为 C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为 D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【即学即练2】从一批含有 件正品， 件次品的产品中，不放回地任取 件，则取得次品数为 的概率为_______（结果用最简分数表示）. 【即学即练3】下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号) ①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X； ②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X. 【即学即练4】袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得______分. 【即学即练5】一个箱子里装有大小相同、质地均匀的红球3个、白球2个，从中随机摸出3个球，设摸出红球的个数为 ，则 ________， ________. 【即学即练6】盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为 __________， __________. 【即学即练7】袋中有3个红球，7个白球．从中无放回地任取5个，取到几个红球就得几分．问平均得几分？ 【即学即练8】从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数． (1)求X的分布列； (2)求X的均值． 考法01 1．随机变量是否服从超几何分布的判断 若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然． 【典例1】一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 对于①，当X表示最大号码，比如 表示从黑球编号为 中取3个黑球， 而 表示从6个黑球和编号为 的白球共7个球中取3个球， 故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布. 对于③， 的可能取值为 ， 表示取出4个白球； 表示取出3个白球1个黑球； 表示取出2个白球2个黑球； 表示取出1个白球3个黑球； 表示取出4个黑球； 因此 服从超几何分布. 由超几何分布的概念知④符合， 故选：B. 【典例2】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布； （2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种