第06讲 与三角形有关的范围（最值）问题-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第6讲 与三角形有关的范围最值问题 第一关 知识梳理 知识点1 三角形中的范围问题 解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 模型1 已知三角形的一角及其对边 如图，已知的三个内角为A，B，C，及其对应边分别为，且（即已知三角形的一角及其对边），则根据三角形的边角关系就可得到以下三个隐含的解题条件： ① ②正弦定理：（其中R为外接圆的半径）（实现了边角的相互转化） 即 ③余弦定理：，即（可看作的方程） 变形： 以上三个隐含的解题条件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其对边”的本质：角的关系（内角和定理）、边角的关系（正余弦定理）.掌握这个本质就可解决多种不同类型的问题，进而得到解决此类问题的系统方法． 例如，在上述条件下可求： （1） ； （2） 外接圆的半径； （3） 的取值范围（拓展到求的最值）； 类似还有：（若为锐角三角形？） （4） 的取值范围（拓展到求的最值）； （5） 的取值范围 （6） 周长的最大值（即求的最大值）； （7） 面积的最大值 （8） 的取值范围 已知三角形的一角及对边，求三角形面积、周长等的最值 ①已知条件为三角形的一边和对角，可以借助正弦定理，转化为角，求三角函数最值 （口诀：正弦定理化角，三角函数求最值） 基本步骤： （1） 利用正弦定理化边为角，并将式子中的角都化为唯一角 （2） 将所求式子化简为的形式或二次函数型 （3） 确定此唯一角的取值范围（利用三个内角都在0到π之间）注：如果是锐角三角形，则需要满足 ，， （4） 根据角的范围求最值（范围） ②问题涉及三角形的一边和对角，可以借助余弦定理，转化为边，利用基本不等式求值。 （口诀：余弦定理化边，不等式求最值） 核心示例：已知△ABC中角A=60°，a=2,求b+c和bc的范围（最值） 求周长的最大值 求面积的最大值 ③已知条件为三角形的一边和对角，根据的外接圆的半径R为定值。 结合三角形的外接圆求最值 （口诀：外接圆确定，数形结合求最值） 示例： 已知求的最大值 1、余弦定理化边+不等式求最值 2、正弦定理化角+三角函数求最值 3、外接圆+数形结合求最值 4、余弦定理建等式+方程有解求最值 最大值 数形结合，时，面积最大 × 求的最大值 × × 求的最大值 × × 求的最大值 × × 令， 条件改为 求的最值范围 × × 令 条件改为求的取值范围 × × × 令 模型2 已知三角形的一角及其邻边 例：如图，已知的三个内角为A，B，C，及其对应边分别为，且（即已知三角形的一角及其邻边），若为锐角三角形，求面积的取值范围 方法一：是锐角三角形，由得到，故，解得 .由三角形的面积公式有，由正弦定理可得，， 故故即面积的取值范围是 方法二：若为锐角三角形，且，由余弦定理可得， 由三角形为锐角三角形，且，即，即 解得，可得面积，． 总结：在三角形中已知一边和一角的系统求解策略是：将边的表达式转化为角的三角函数进行处理，这是通法．而已知三角形的“一角两边”“两角一边”“三边”等模型均可直接使用正余弦定理解三角形，且三角形是确定的，也就不存在求解范围的问题了！这样一来，解三角形中已知 “一角一边”的问题就得到了系统的认识，学生在教师的带领下也就形成了解决三角形问题中已知边角问题的整体解决方案，当然也就形成了解决一类问题的系统方法. 模型3 已知两条边 例：已知锐角∆ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 其中a = 2, b = 1, 求∆ABC 面积的取值范围. 方法一：（正弦定理）由正弦定理得，所以.因为是锐角三角形，所以，所以即，所以，所以所以，从而. 方法二：（余弦定理）由余弦定理得，又因为为锐角三角形，所以，即，解得，即，从而. 模型4 已知一条边和另外两条边的和的关系 例：已知 a, b, c 分别为 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 且 c = 2, a + b = 4, 求 ∆ABC 面积的最大值. （余弦定理+二次函数）由余弦定理可得，因为，所以求得又因为，所以，由三角形三边关系有，即，得，所以在对称轴处，即，面积最大值为 第二关 高频考点识梳理 第三关 考点精析识梳理 考点一 已知三角形的一角求取值范围 解题方略： 【例1】已知锐角三角形的三个内