专题15 一元一次不等式的综合运用-【高效导学】2021-2022学年七年级数学下学期重难点专题多维突破精讲精练（人教版）

人教版七年级数学下册《第九章 不等式与不等式组》复习专题训练 专题训练十四：一元一次不等式的综合运用 知识回顾 ★★★一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． ★★★根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，在去分母或系数化为1的时候，不等号的方向可能会改变，等号不变. ★★★求不等式中参数的取值范围，往往要利用不等式的性质、不等式的解集，借助数轴，建立对应关系后求解即可. 类型一：解一元一次不等式 ◎【典例一】◎（2022春•高州市期中）解不等式： ，并把它的解集表示在数轴上． 【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集． 【解答】解：去分母，得3（x+1）+2（x﹣1）≤6， 去括号，得3x+3+2x﹣2≤6， 移项，得3x+2x≤6﹣3+2， 合并同类项，得5x≤5， 把系数化为1，得x≤1， 把解集表示在数轴上如图所示： ■【变式1】（2022春•兴庆区校级月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）3x﹣5＜2（2+3x）； （2）． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：（1）去括号、得3x﹣5＜4+6x， 移项，得3x﹣6x＜4+5， 合并同类项，得﹣3x＜9， 系数化为1，得x＞﹣3． 将不等式的解集表示在数轴上如下： ； （2）去分母，得5x﹣1＜3（x+1）， 去括号，得5x﹣1＜3x+3， 移项，得5x﹣3x＜3+1， 合并同类项，得2x＜4， 系数化为1，得x＜2， 将不等式的解集表示在数轴上如下： ． ■【变式2】下面是小明解不等式的过程： ①去分母，得 x+5﹣1＜3x+2． ②移项、合并同类项，得﹣2x＜﹣2． ③系数化为1，得x＞先阅读以上解题过程，然后解答下列问题： （1）小明的解题过程从哪一步开始出现错 误？请写出该步的序：　 　； （2）错误的原因是 　 　； （3）第③步的依据是 　 　． （4）求该不等式正确的解集． 【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； （2）分析错误的原因即可； （3）利用不等式的基本性质判断即可； （4）写出正确的解答即可． 【解答】解：（1）小明的解题过程从第①步出现错误； （2）错误的原因是：去分母时，不等式左边第二项没有乘2； （3）第③步的依据是不等式的基本性质2； （4）正确解答为： 去分母得：x+5﹣2＜3x+2， 移项、合并得：﹣2x＜﹣1， 系数化为1得：x． 故答案为：①；去分母时，不等式左边第二项没有乘2；不等式的基本性质2． ●方法归纳● 解一元一次不等式：都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 类型二：利用“解的关系”求不等式中未知的系数 ◎【典例一】◎（2022春•驿城区校级月考）若不等式2（x+1）﹣5＜3（x﹣1）+4的最小整数解是方程的解，求代数式a2﹣2a﹣11的值． 【分析】先求出不等式的2（x+1）﹣5＜3（x﹣1）+4解集，从中确定最小整数解，然后代入方程中，解关于a的方程，求出a的值，再代入代数式求出代数式的值． 【解答】解：解不等式2（x+1）﹣5＜3（x﹣1）+4，得x＞﹣4， ∵大于﹣4的最小整数是﹣3， ∴x＝﹣3是方程的解． 把x＝﹣3代入中，得：， 解得a＝2． 当a＝2时，a2﹣2a﹣11＝22﹣2×2﹣11＝﹣11． ∴代数式a2﹣2a﹣11的值为﹣11． ■【变式3】已知关于x的不等式x+4＜2xa的解也是不等式的解，求a的取值范围． 【分析】分别求出不等式x+4＜2xa和的解，然后求出a的取值范围． 【解答】解：解不等式x+4＜2xa得：x＞6+a， 解不等式得：x＞﹣1， 则6+a≥﹣1， 解得：a≥﹣7． ■【变式4】若不等式的解集与关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集相同，求m的取值． 【答案】m＝7． 【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，分别解得两不等式的解集，又因为两解集相同，进而求出m． 【解答】解：∵不等式， ∴3x﹣2＞4x+1， 3x﹣4x＞1+2， 解得x＜﹣3， ∵不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）， ∴3x﹣3+5＞5x+2m+2x， 3x﹣5x﹣2x＞2m+3﹣