10.2 分式的基本性质-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第10章 分式 10.2 分式的基本性质 目标导航 课程标准 课标解读 1.理解和掌握分式的根本性质; 2.能利用分式的根本性质进展约分和通分。 掌握分式的基本性质,并能利用分式的基本性质将分式恒等变形,进而进行条件计算。 知识精讲 知识点01 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表示是:(其中M是不等于零的整式)。 (1)基本性质中的A、B、M表示的是整式。其中B≠0是已知条件中隐含着的条件,一般在解题过程中不另强调;M≠0是在解题过程中另外附加的条件,在运用分式的基本性质时,必须重点强调M≠0这个前提条件。 (2)在应用分式的基本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变,但分式中字母的取值范围有可能发生变化。 【微点拨】分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;改变其中任何一个或三个,分式成为原分式的相反数。 根据分式的基本性质有,。根据有理数除法的符号法则有。分式与互为相反数。分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用。 【即学即练1】化简下列分式: (1); (2); (3). 【答案】(1);(2);(3) 【分析】(1)根据分式的约分的方法可以化简本题; (2)分式的分子分母能因式分解的先因式分解,然后约分即可解答本题; (3)分式的分子分母能因式分解的先因式分解,然后约分即可解答本题. 【解析】解:(1); (2); (3). 知识点02 分式的约分、最简分式、通分 1.分式的约分、最简分式 与分数的约分类似,利用分式的基本性质,约去分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式(1除外),那么这个分式叫做最简分式. 【微点拨】(1)约分的实质是将一个分式化成最简分式,即约分后,分式的分子与分母再没有公因式. (2)约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积;当分式的分子、分母中含有多项式时,要先将其分解因式,使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式,然后再进行约分. 2.分式的通分 与分数的通分类似,利用分式的基本性质,使分式的分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把分母不同的分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分. 【微点拨】(1)通分的关键是确定各分式的最简公分母:一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. (2)如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积;如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式,然后再找最简公分母. (3)约分和通分恰好是相反的两种变形,约分是对一个分式而言,而通分则是针对多个分式而言. 【即学即练2】将下列各分式通分: (1);(2);(3);(4). 【答案】(1),;(2),;(3),;(4),. 【分析】将分母两式取各式的最小公倍式,相同因式的次数取最高次幂,分子分母同乘分母的最小公倍式即可得出答案. 【解析】解:(1),; (2),; (3),; (4),. 能力拓展 考法01 分式的基本性质 【典例1】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数. (1) (2) . 【答案】(1);(2) . 【分析】根据分式的基本性质变形即可; 【解析】解:(1)原式; (2)原式=; 考法02 约分与通分 【典例2】约分: (1); (2). 【答案】(1);(2). 【分析】(1)找到分子、分母的公因式,根据分式的性质约去公因式即可; (2)先把分子、分母因式分解,根据分式的性质约去公因式即可. 【解析】(1)=. (2) = = =. 分层提分 题组A 基础过关练 1.下列分式中是最简分式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】在化简结果中,分子和分母已没有公因式,这样的分式称为最简分式; 【解析】解:A,2还可约分;B,是最简分式,符合题意;C,x+1还可约去;D,公因式a还可约分; 故答案选:B 2.如果把分式中的x,y都扩大到原来的5倍,那么分式的值( ) A.扩大到原来的25倍 B.扩大到原来的5倍 C.值不变 D.缩小为原来的 【答案】C 【分析】把x与y都扩大5倍,确定出分式的值,比较即可. 【解析】解:根据题意得:, ∴x,y都扩大到原来的5倍,分式的值不变. 故选:C. 3.根据分式的基本性质填空:,括号内应填( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】把分式的分母与分子同时除以(x+1)即可得出结论. 【解析】解:∵分式的分母与分子同时除以(x+1)得,, ∴括号内应填x-1. 故选:B. 4.若,则下