第4章 因式分解 ——因式分解拓展之分组分解法与添、拆项法 同步专题培优提高练习 2021—2022学年北师大版数学八年级下册

因式分解拓展之分组分解法与添、拆项法

1．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．

例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：

解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；

＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；

＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；

＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；

＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．

（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．

（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．

2．用分组分解法分解因式a2﹣b2﹣c2+2bc，其分组分解正确的是（　　）

A．（a2﹣c2）﹣（b2﹣2bc） B．（a2﹣b2﹣c2）+2bc 

C．（a2﹣b2）﹣（c2﹣2bc） D．a2﹣（b2+c2﹣2bc）

3．常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2+2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2+2xy+y2﹣16＝（x+y）2﹣42＝（x+y+4）（x+y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：

（1）分解因式：2a2﹣8a+8；

（2）请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2+3x﹣3y；

（3）若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．

4．因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝　   　．

5．分解因式：x3﹣3x2﹣6x+8＝　   　．

6．因式分解：

（1）2x（x﹣3）﹣8；

（2）a2﹣b2﹣6a+9．

7．添项、拆项分组法因式分解：

（1）a4+a2+1；

（2）a3﹣9a+8；

（3）x4﹣6x2﹣7x﹣6．

8．阅读材料，解答问题：

我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法，

下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．

例题：x3+8＝x3+2x2﹣2x2+8（添上2x2，再减去2x2使多项式的值不变）

＝（x3+2x2）﹣（2x2﹣8）（分成两组）

＝x2（x+2）﹣2（x+2）（x﹣2）（两组分别因式分解）

＝　   　（两组有公因式，再提公因式）

（1）请将上面的例题补充完整；

（2）仿照上述方法，因式分解：64x4+1；

（3）若a，b，c是△ABC三边长，满足3a2+4b2﹣6a﹣16b+19＝0，且c为整数，试判断△ABC的形状，并说明理由．

因式分解拓展之分组分解法与添、拆项法

参考答案与试题解析

一．试题（共8小题）

1．【解答】解：（1）x3﹣7x+6

＝x3﹣x﹣6x+6

＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）

＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）

＝（x﹣1）（x2+x﹣6）

＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；

（2）x4﹣5x2+6

＝（x2﹣2）（x2﹣3）

＝（x）（x）（x）（x）．

2．【解答】解：a2﹣b2﹣c2+2bc

＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）

＝a2﹣（b﹣c）2

＝（a+b﹣c）（a﹣b+c），

故选：D．

3．【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣4a+4）

＝2（a﹣2）2；

（2）原式＝（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）

＝（x﹣y）（x+y+3）；

（3）△ABC是等腰三角形或等边三角形．理由如下：

∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，

∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，

∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，

∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，

∴△ABC是等腰三角形或等边三角形．

4．【解答】解：x3﹣6x2+11x﹣6

＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6

＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）

＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）

＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]

＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）

＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．

故答案为：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．

5．【解答】解：原式＝x3﹣4x2+x2﹣6x+8

＝x2（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣2）

＝（x﹣4）（x2+x﹣2）

＝（x﹣4）（x+2）（x﹣1）．

故答案为：（x﹣4）（x+2）（x﹣1）．

6．【解答】解：（1）原式＝2x2﹣6x﹣8

＝2（x2﹣3x﹣4）