专题5：函数与方程-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题5函数与方程 1、 真题特点分析: 1. 【2021年北大13】方程的整数解的组数为_. 答案:2 2.【2020年清华29】已知函数在区间上存在零点,则的最小值为( ) A. B. C. D. 3【2020武大2】已知方程,则下列判断: (1) 方程没有正数解; (2) 方程有数多个解; (3) 方程有一个正数解; (4) 方程的实根小于1. 其中错误的判断有_. 答案:A 根据对称性可选A 二、知识要点拓展 1. 一元二次方程有关公式 1.一元二次方程的根: 2.根与系数的关系:,(韦达定理) 3.判别式:. 二.函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题 1.函数不等式的恒成立问题: (1)不等式在集合上恒成立在集合上. (2)不等式在集合上恒成立在集合上. 2.函数不等式的能成立问题: (1)在集合上存在实数使不等式成立在集合上. (2)在集合上存在实数使不等式成立在集合上. 3.函数不等式的恰成立问题: 不等式在集合上恰成立该不等式的解集为. 三.几个常见的函数方程 1.正比例函数,具有性质:. 2.指数函数,具有性质:. 3.对数函数,具有性质:. 方程的根与函数的零点: 1. 对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点. 2.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 3.零点存在定理:设函数在闭区间上连续,且,那么在开区间内至少存在一点,使。 ►函数零点的理解: (1)函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是函数的零点的个数,亦即函数的图像与x轴交点的个数 (2) 函数的零点不是点,而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标,即零点是一个实数。 (3)若函数在区间上的图象是一条连续的曲线,则是在区间内有零点的充分不必要条件。 二.高次方程韦达定理 ①三次方程韦达定理 设三次方程的三个根为,那么 ②如果一元次多项式的根为,那么 以上定理称为韦达定理。它确定了根与系数的关系。利用韦达定理,一元n次方程可直接求方程的根。 3. 整系数多项式 设,若,则称为的根(或零点);又若是的重因式,则称为的k重根,当时,称为的单根。 代数基本定理: 任意一个次数不小于1的多项式至少有一个复数根。 根的个数定理: 任意一个次多项式的复数根的个数(依重数累加)恰有个,依次定理可知任何一个可以分解为,其中,为两两不同的复数,,且。这是多项式在复数范围内的标准分解式。 虚根成对定理:设为的复根,即,则,于是也是的根。也就是说实系数多项式的虚根成对出现。 实系数多项式分解定理:设,则可分解为,其中且。 整系数多项式的有理根: 设是的有理根,则,并且可写,其中。 依上述定理可知,若,的首项系数为1,则的有理根都是整数根。 三、典例精讲 例1.(复旦)设三次方程的3个根互异,且可成等比数列,则它们的公比是 。 (A) (B) (C) (D) ►分析与解答: 设这三个根为,则由三次方程根的韦达定理有 。 故选A。 例2.(北大)求的实数根的个数。 ►分析与解答:原方程即 。 。令。由于 。所以原方程无实根。 例3.(复旦)设,,是三次方程的3个根,则总以为根的三次方程是( ) (A) (B) (C) (D) ►分析与解答:由三次方程的韦达定理: 而 对选项逐个用韦达定理检验,只有选项B适合。 例4.(清华)请证明:方程在为偶数的时候没有实数根,在为奇数的时候,有且仅有一个实数根。 ►分析与解答: 用归纳法证明:为奇数时,单调递增,且值域为;为偶数时,恒成立。这里。 对求导有 。 时,,它在上单调递增,且值域为。 时,。 故时结论成立。 设时结论成立。则时, ①当为偶数时,,。因为为奇数,由归纳假设在上单调递增,且值域为。故方程有且仅有一个实根,设为,当时,;当时,,所以对而言,只有,且当时,,当时,。 所以是的最小值,于是(因为为偶数)。。即为偶数时恒成立。 ②为奇数时,为偶数,由归纳假设,所以,所以在上单调递增。再注意到为奇数时,多项式。当时,;当时,。 即当为奇数时,单调递增,且值域为。 综上,当为偶数时,恒成立,故没有实数根;为奇数时,单调递增,且值域为,故有且只有一个实数根。 例5.(复旦)方程的实根是( ) (A) 不存在 (B)有一个 (C)有两个 (D)有三个 ►分析与解答: 此方程属于超越方程,没有精确解,只能用数形结合法来解决,画出与的函数图象草图,显然方程有且只有一个小于0的解,那么有多少个大于0的解呢?许多同学误认为只有一个。事实上,认真分析后就可以发现有两个大于0的解。理由如下:令,则,由于,由零值定理,知开区间和内各有一根。故方程有两正根一负根,本题应选D。 练习1:函数与它的反函数的交点个数为 ( ) (B) 1个 (B)2个 (C