17.4 【专题】勾股定理之折叠问题求值-【双基训练】2021-2022学年八年级数学下学期同步精品课后练习 (人教版)

17.4 【专题】折叠问题 基础对点练 1.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ADE沿DE翻折,使点A与点B重合,则AE的长为( ) A. B.3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用折叠的性质得到,设,则,,在中,根据勾股定理可得到,求解即可. 【详解】 解:∵沿DE翻折,使点A与点B重合, ∴, ∴, 设,则,, 在中, ∵, ∴, 解得, ∴, 故选:D. 【点睛】 本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用,理解题意,熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键. 2.如图,在一矩形纸条中,,将纸条沿折叠,点C的对应点为,若,则折痕的长为( ) A.2 B. C. D.4 【答案】B 【解析】 【分析】 设交AD于点H,由四边形ABCD是矩形,⊥BC得到∠EHF=90°, 四边形ABEH为矩形,得到EH=AB=2,由折叠的性质可知∠HEF=∠EFH=∠HEC=45°,得到△HEF为等腰直角三角形,再利用勾股定理得到EF的长. 【详解】 解:如图, 设交AD于点H, ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AD∥BC ∠A=∠B=90° ∵⊥BC ∴⊥AD于点H ∠HEC=∠HEB=90° ∴∠EHF=90° 四边形ABEH为矩形 ∵AB=2 ∴EH=AB=2 由折叠的性质可知 ∠HEF=∠EFH=∠HEC=45° 在Rt△HEF中, ∠HFE=180°-∠HEF-∠EHF=45° ∴EH=FH ∴△HEF为等腰直角三角形 在Rt△HEF中, 由勾股定理得 EF2=HE2+HF2 ==8 ∴EF==2 故选:B 【点睛】 本题考查了图形的折叠问题,抓住折叠前后相关位置和数量关系的变化是正确解答的关键. 3.如图,将直角三角形纸片沿AD折叠,使点B落在AC延长线上的点E处.若AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由勾股定理求出AB,设CD=x,则BD=4-x,根据求出x得到CD的长,利用面积求出答案. 【详解】 解:∵∠ACB=90°, ∴, 由折叠得AE=AB=5,DE=BD, 设CD=x,则BD=4-x, 在△DCE中,∠DCE=90°,CE=AE-AC=5-3=2, ∵, ∴, 解得x=1.5, ∴CD=1.5, ∴图中阴影部分的面积是, 故选:B. 【点睛】 此题考查了折叠的性质,勾股定理,熟记勾股定理的计算公式是解题的关键. 4.如图,长方形中,,,将此长方形折叠,使点与点重合,折痕为,则的长为( ) A.12 B.8 C.10 D.13 【答案】D 【解析】 【分析】 设BE为x,则AE为25-x,在由勾股定理有,即可求得BE=13. 【详解】 设BE为x,则DE为x,AE为25-x ∵四边形为长方形 ∴∠EAB=90° ∴在中由勾股定理有 即 化简得 解得 故选:D. 【点睛】 本题考查了折叠问题求折痕或其他边长,主要可根据折叠前后两图形的全等条件,把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来,并根据勾股定理建立方程,进而可以求解. 5.如图,折叠长方形的一边AD,点D落在EC边上的F点,若AB=8cm,BC=10cm,则EC的长为( ) A.3cm B.4cm C.2cm D.5cm 【答案】A 【解析】 【分析】 根据翻折的性质,先在在Rt△ABF中求出BF,进而得出FC的长,然后设CE=x cm,EF=DE=(8-x)cm,从而在Rt△ECF中应用勾股定理可解出x的值,即能得出CE的长度. 【详解】 解:由翻折的性质可得:AD=AF=10cm, 在Rt△ABF中可得:BF==6cm, ∴FC=BC-BF=4cm, 设CE=x cm,EF=DE=(8-x)cm, 则在Rt△ECF中,EF2=EC2+CF2,即x2+16=(8-x)2, 解得:x=3, 故CE=3cm, 故选:A. 【点睛】 本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力,解决本题的关键是结合图形,首先根据翻折的性质得到一些相等的线段,然后灵活运用勾股定理进行解答. 6.如图,折叠长方形ABCD的一边AD,点D落在BC边的F处,AE是折痕,已知DC=8cm,AD=10cm,CF= 4cm,则折痕AE的长为_(结果保留根号). 【答案】 【解析】 【分析】 由折叠的性质,得DE=FE,设DE=x,则CE=,由勾股定理,求出x的值,然后再利用勾股定理求出AE的长度即可. 【详解】 解:在矩形ABCD中,∠C=∠D=90°, 由折叠的性质,得:DE=FE, 在Rt△CEF中,CF=4, 设DE=EF=x,则CE=, 由勾股定理得:, 解得:, ∴DE=5, 在Rt△ADE中,AD=10,DE=5, ∴, 故答案为:. 【点睛】 本题考查了折叠的性质和矩形性质以及勾股定理,