17.3 【专题】勾股定理之蚂蚁最短行程问题-【双基训练】2021-2022学年八年级数学下学期同步精品课后练习 (人教版)

17.3 【专题】勾股定理之蚂蚁最短行程问题 基础对点练 1.如图,一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A出发,爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为( ) A.4+2 B.4 C.2 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】 将正方体展开,右边的正方形与前面正方形放在一个面上,此时AB最短,根据三角形中位线,求出CN的长,利用勾股定理求出AC的长即可. 【详解】 解:将正方体展开,右边的正方形与前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时AB最短, ∵AN=MN,CN∥BM ∴CN=BM=2, 在Rt△ACN中,根据勾股定理得:AC===2, 故选:C. . 【点睛】 本题考查了平面展开-最短路径问题,涉及的知识有:三角形中位线,勾股定理,熟练求出CN的长是解本题的关键. 2.如图,圆柱的高为4cm,底面周长为6cm,在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁,它想吃到上底面B处的食物,已知长方形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径,则蚂蚁要吃到食物,至少要爬行( ) A.4cm B.5cm C.7cm D.10cm 【答案】B 【解析】 【分析】 将圆柱体沿着AC直线剪开,得到矩形,则AB的长度为所求的最短距离,由题意根据勾股定理求出AB的长即为所求. 【详解】 解:如图,将圆柱体沿着AC直线剪开,得到矩形, 则AB的长度为所求的最短距离, 根据题意圆柱的高为4cm,底面周长为6cm, ∴AC=4cm,BC=3cm, 根据勾股定理得:AB==5(cm), ∴蚂蚁要吃到食物,至少要爬行5cm, 故选:B. 【点睛】 本题考查了平面展开-最短路径问题,将圆柱体转化为矩形,在平面中求解是解题的关键. 3.如图是一个三级台阶,它的每一级的长,宽,高分别是,A和B是这个台阶相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到B处去吃食物,则这只蚂蚁爬行的最短距离为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先将图形平面展开,再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答. 【详解】 解:三级台阶平面展开图为长方形,长为20dm,宽为(2+3)×3dm, 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长. 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm, 由勾股定理得:x2=202+[(2+3)×3]2=252, 解得x=25. 故选:A. 【点睛】 本题的是平面展开-最短路径问题,解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题 4.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=6,CD=2,点P′是AB上的动点,则PC+PD的最小值是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【解析】 【分析】 过点B作D'B⊥BC,且BD'=6,连接CD'交AB于点P,由“SAS”可证△BPD≌△BPD',可得DP=D'P,可得PC+PD的最小值为D'C,由勾股定理可求解. 【详解】 解:如图,过点B作D'B⊥BC,使BD'=6,连接CD'交AB于点P ∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠ABC=45°,且BD'⊥BC ∴∠D'BP=∠DBP=45°,且BD=6=BD',BP=BP ∴△BPD≌△BPD'(SAS) ∴DP=D'P ∴CP+DP=CP+D'P ∴PC+PD的最小值为D'C, ∵BD=6,CD=2 ∴BC=8, ∴D'C= ∴PC+PD的最小值为10 故选:D. 【点睛】 本题考查利用轴对称的性质解决最短路径问题,涉及了直角三角形的性质以及勾股定理的应用. 5.如图,在矩形中,,,动点P满足,则点P到A、B两点距离之和的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由,得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中,由勾股定理求得BE的值,即PA+PB的最小值. 【详解】 解:设△ABP中AB边上的高是h. ∵, ∴AB•h=AB•AD, ∴h=AD=2, ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离. 在Rt△ABE中,∵AB=5,AE=2+2=4, ∴BE=, 即PA+PB的最小值为. 故选:B. 【点睛】 本题考查了轴对称——最短路线问题,三角形的面积,矩形的性质,勾股定理,两点之间线段最短的性质.得出动点P所在的位置是解题的关键. 能力达标练 6.如图,已知圆柱底面的周长为12cm,圆柱高为8cm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为( ) A