8.1-8.2 空间几何体的结构特征、直观图-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

空间几何体的结构特征、直观图 1空间几何体的结构特征 ① 空间几何体 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体; 旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体. ② 棱柱 (1)概念 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱. (2)性质 · 侧棱都相等,侧面是平行四边形; · 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; · 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; · 直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形. (3)分类 ① 按底面多边形的边数分为:三棱柱,四棱柱等. ② 按侧棱是否垂直低面分为斜棱柱,直棱柱(底面是正多边形的直棱柱,叫正棱柱;底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体) ③ 棱锥 (1)概念 有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥. 如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥. (2)性质 · 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; · 正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; · 正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形.) (3)常见棱锥 正三棱锥是底面是等边三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥. 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥,正四面体是特殊的正三棱锥. (4)侧面展开图 正棱锥的侧面展开图是有个全等的等腰三角形组成的. 4 棱台 (1)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台. (2)棱台的分类:由三棱锥、四棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台……. (3)正棱台:由正棱锥截得的棱台叫做正棱台,正棱台各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰梯形. 5 圆柱 (1)概念 以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. (2)性质 上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (3)侧面展开图 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 6 圆锥 (1)概念 以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥. (2)性质 · 平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; · 轴截面是等腰三角形;如右图:三角形 · 如上图:. (3)侧面展开图 圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形. 7圆台 (1)概念 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 8 球体 (1)概念 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. (2)性质 · 球心与截面圆心的连线垂直于截面; · (其中,球心到截面的距离为、球的半径为、截面的半径为). 2 空间几何体的直观图 ① 空间几何体的直观图 用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图,常用斜二测画法画它们的直观图. ② 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,一般步骤如下: · 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点. · 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的x'轴和y'轴, 两轴相交于点O',且使度(或度), 它们确定的平面表示水平平面. · 画对应图形: 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 长度保持不变.在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度为原来一半. · 对于一般线段,要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线,再按上述要求画出这些线段,确定端点,从而画出线段. · 擦去辅助线: 图画好后,要擦去轴,轴及为画图添加的辅助线. ③ 斜二测画法口诀 平行依旧垂改斜,横等纵半竖不变,眼见为实遮为虚. ④ 斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍. (原来的高变成了的线段,且长度是原高的一半,因此新图形的高是这个一半线段的倍,故新高是原来高的,而横向长度不变,所以面积变为原面积的) 【题型一】空间几何体的结构特征 【典题1】 给出下列命题: ① 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ② 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③ 一个棱锥可以有两个侧棱和底面垂直; ④ 一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直; ⑤ 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体. 其中正确的命题是( ) 【解析】对于①,底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥, 如图所示, 若,且平面,但三棱锥表示正三棱锥,①