8.4 平面与空间点、直线、面之间的位置关系-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

平面与空间点、直线、面之间的位置关系 1 平面 无限延展,无边界. 判断 一张纸是一个平面;平面就是四边形;两个平面可相交于一点 . 原因均是平面是无限延展的. 2三个基本事实与三个推论 ① 基本事实1 不共线的三点确定一个平面. PS “确定”的意思是“有且只有”,过不共线三点的平面有且只有一个,故说确定一个平面. 判断 三点确定一个平面 ;原因是三点未必共线. 用途:用于确定平面. ② 基本事实2 如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内. 用途:常用于证明直线在平面内. ③ 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 用途:常用于证明线在面内,证明点在线上. 推论1:直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2:两条相交直线确定一个平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. 3 图形语言,文字语言,符号语言的转化 PS 点用大写字母表示,直线用小写字母表示,平面用希腊字母表示. 2 空间点,直线,面之间的位置关系 ① 线线的位置关系 (1) 空间直线的位置关系 (2) 平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表述: (3) 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (4) 异面直线: 定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线; 图形语言 符号语言 ② 线面的位置关系 (1) 直线与平面的位置关系 (2) 图形语言 例 若直线在平面内,直线平行直线,则直线与平面的位置关系是 答案 或者. ③ 面面的位置关系 (1) 平面与平面的位置关系 (2) 图形语言 【题型一】平面的确定 【典题1】 设表示一个点,表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是 ( ). 【解析】对于① 当时,,但,①错; 对于② 时,②错; 对于③ 如图,由直线与点确定唯一平面, 又,由与确定唯一平面但经过直线与点与重合,故③正确; 对于④ 点是平面的公共点,线是平面的交线,而两平面的交点必在其交线上,故④正确.故选. 【点拨】 ① 熟悉点、线、面及其之间关系的符号表示; ② 判断尽量利用画图进行思考,若要排除选项则举出一反例; ③ 确定平面的方法-不共线的三点确定一个平面、直线与直线外的一点确定一个平面、两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面. 【典题2】 在正方体中,,分别为棱,的中点,则在空间中与三条直线,,都相交的直线有_条. 【解析】 在上任意取一点,直线与确定一个平面,这个平面与有且仅有个交点,当取不同的位置时就确定不同的平面,从而与有不同的交点,而直线与这3条异面直线都有交点如图所示. 【点拨】 其实就是过三直线,,中任一条直线的平面与另外两直线分别交于点, 则直线为所求直线,而这样的平面有无数个,则直线有无数条. 【题型二】三点共线、三线共点、四点共面 【典题1】 如图,在正方体中,点 分别在棱上,且,相交于点,求证三点共线. 【证明】 直线直线,平面. 平面. 直线平面. 又直线, 平面. 同理可证,平面. 平面平面直线, 直线. 三点共线. 【点拨】 ① 本题利用了基本事实:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ② 证明三点共线,一般思路是证明点在直线上. 【典题2】 如图所示,正方体中,分别是和的中点. 求证:(1)四点共面;(2)三线共点. 【证明】 (1) 连接 分别是的中点, 又, 四点共面. (2)与必相交,设交点为, 则由平面,得平面. 同理平面 又平面平面, 直线三线共点. 【点拨】 ① 证明四点共面可转化为两线共面,即证明两直线必定相交或平行(利用推论2:两相交线确定一个平面和推论3:两条平行直线确定一个平面); ② 证明三线共点,一般思路是 (1) 先设两直线相交于点,再证明点. (2) 证明与相交于点,与相交于点,再证明两交点重合; ③ 证明多线共面,首先由其中两直线确定平面,再证其余直线在此平面内. 巩固练习 1(★★) 一块蛋糕切三道最多可以切 块? 【答案】8 2(★) 下列命题正确的是 ( ) A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 【答案】D 【解析】对于A,若三点共线时就错了;对于B,若点在直线上,是不能确定一个平面的;对于C,空间四边形就不属于平面图形,注意四边形在立体几何里分为平面四边形和空间四边形了。 3(★) 以下四个命题中,正确命题的个数是 ( ) ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点共面,点共面,则共面; ③若直线共面,直线共面,则直线共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 【答案】B 【解析】 ①假设其中有三