7.5 正态分布 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

正态分布 1 正态分布的概念 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数,且,则称服从正态分布,简记为. 的图象称为正态曲线. 2 正态分布的期望与方差 若,则 3 正态曲线的性质 ① 曲线在轴的上方,与轴不相交; ② 曲线关于直线对称; ③ 曲线在时达到峰值; ④ 曲线与轴之间的面积为; ⑤ 当时,曲线上升;当时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以轴为渐进线,向它无限靠近; ⑥ 曲线的形状由确定, 越大,峰值越小,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; 越小,峰值越大,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 4若,取值不超过的概率为区域的面积,而为区域的面积. 5 原则 假设,对于给到的,是一个只与有关的定值,特别地, 在实际应用中,通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值,并简称之为 原则. 6 标准正态分布 ① 在标准正态分布表中相应于的值是指总体取值小于的概率, 即 时,则的值可在标准正态分布表中查到; 时,可利用其图象的对称性获得来求出, ② 与的关系: 若 ,则,有; 若,则. 【题型一】正态分布的概念与性质 【典题1】已知三个正态分布密度函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【解析】因为是对称轴,观察图象可知:, 而与的图象可以相互平移得到,且的图象显得更“矮胖”, 故. 故选:. 【点拨】在正态分布的密度函数曲线,其中直线是其对称轴,确定曲线形状,越大曲线越“矮胖”,越小,曲线越“瘦高”. 【典题2】 已知连续型随机变量,其正态曲线如图所示,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【解析】对于是正态分布密度函数在第二条虚线左侧与x轴围成的部分,显然大于,是正态分布密度函数在第一条虚线左侧与轴围成的部分,显然小于,故,故错误; 对于:,,则,故错误; 对于:,故错误; 对于:成立,故正确. 故选:. 【点拨】 ① 在正态分布中,概率相当于看对应的“面积”; ② 若,对于给到的,是一个只与有关的定值,与正态分布密度函数无关,故正确. 巩固练习 1(★) 【多选题】已知,,,则( ) A.曲线与轴围成的几何图形的面积小于 B.函数图象关于直线对称 C. D.函数在上单调递增 【答案】BC 【解析】A.曲线y=f(x)与x轴围成的几何图形的面积等于1,因此A不正确; B.函数f(x)图象关于直线x=μ对称,可得B正确; C.∵P(μ>X>μ-σ)=P(μ<X<μ+σ),∴P(X>μ-σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ),因此C正确; D.函数F(x)=P(X>x)在R上单调递减,可得D不正确. 故选:BC. 2(★) 【多选题】已知三个正态分布密度函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】根据正态曲线关于x=μ对称,且μ越大图象越靠近右边, 所以μ1<μ2=μ3,BC错误; 又σ越小数据越集中,图象越瘦长, 所以σ1=σ2<σ3,AD正确. 故选:AD. 3(★) 设随机变量,若,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵随机变量X~N(μ,7),若P(X<2)=P(X>4), 则μ=3,DX=7, 故选:A. 4(★★) 设,这两个正态曲线如图所示,下列说法正确的是( ) A. B. C.若,则 D.若,则 【答案】D 【解析】∵正态分布密度曲线图象关于x=μ对称, ∴μ1<μ2, 由图象形状可得σ1>σ2, 由正态分布曲线的对称性可得:若t<0,则P(X≥t)≤P(Y≥t). 故选:D. 【题型二】 正态分布的计算问题 【典题1】 已知随机变量服从正态分布,若,, 则( ) A. B. C. D. 【解析】随机变量服从正态分布,,, ,,解得, 则. 故选:. 【点拨】① 在求解正态分布的概率时,要注意其曲线对称轴,利用对称性进行求解,若对题目中数值不是很敏感,建议画图进行思考,其关系容易获得; ② 正态曲线与轴之间的面积,即概率总和为1,则概率. 【典题2】 随机变量服从正态分布,,,则的最小值为 . 【解析】随机变量服从正态分布,, 由,得,(留意到的平均数就是) 又, ,且,, 则. 当且仅当,即,时等号成立. 的最小值为. 故答案为:. 【点拨】 ① 本题为正态分布与基本不等式的结合题,要对题中的数值有所注意; ② 利用基本不等式“若,则”时要注意是否满足“正、定、等”三字. 巩固练习 1(★★) 若随机变量服从分布,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设,则, 根据对称性,, 则,. 即,, 故选:. 2(★★) 若随机变量,若, 则( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 【答案】A 【解析】∵P(X≥1)=0.657,∴1-(1-