第八章 立体几何初步 专题3 平行、垂直关系中的探索性问题-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第二册）

第8章 立体几何初步 专题3 平行、垂直关系中的探索性问题 处理空间中平行或垂直的探究性问题,一般先根据条件猜测点的位置,在给出证明。探索点存在问题,点多为中点或n等分点中的某一个,需根据相关的知识点确定点的位置。 从近几年高考命题看,考查考查力度与以往基本相同,与之相关的题目,难度较大. 【题型导图】 类型一 平行关系中的探索性问题 例1:(2021·湖南·长沙市第二十一中学高一期中)如图:在正方体 中,E为 的中点. (1)求证: 平面 ; (2) 上是否存在一点F,使得平面 平面 ,若存在请说明理由. 【变式1】(2021·全国·高一课时练习)如图,在直三棱柱 中, ,点M为 的中点,点N为 上一动点. (1)是否存在点N,使得线段 平面 ?若存在,指出点N的位置,若不存在,请说明理由; (2)若点N为 的中点,且 ,求三棱锥 的体积. 【变式2】(2021·全国·高一单元测试)如图①, 的直径 ,圆上两点 在直线 的两侧,且 , ,沿直线 将半圆 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图②),F为 的中点,E为 的中点.根据图②解答下列各题: (1)求三棱锥 的体积; (2)求证: ; (3)在 上是否存在一点G,使得 平面 ?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由. 【变式3】(2021·广西·桂平市麻垌中学高一月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M、N分别为BC、PA中点,且PA=AB=2. (1)证明:BC⊥平面AMN; (2)求三棱锥N-AMC的体积; (3)在线段PD上是否存在一点E,使得MN∥平面ACE;若存在,求出PE的长;若不存在,说明理由. 类型二 垂直中的探索问题 例2.(2021·全国·高一课时练习)如图,在四棱锥 中, 底面 ,底面 为直角梯形, ,且 . (1)若 ,直线 与 所成的角为 ,求二面角 的大小; (2)若E为线段 上一点,试确定点E的位置,使得平面 平面 ,并说明理由. 【变式1】(2020·广东·深圳科学高中高一期中)如图所示,在正四棱锥 中, 为底面正方形的中心, 为侧棱 上的动点.侧面 与底面 所成的二面角的平面角为60°. (1)求证:平面 平面 ; (2)求侧棱 与底面 所成的角的正切值; (3)若 ,问在棱 上是否存在一点 ,使 侧面 ,若存在,试确定点 的位置;若不存在,说明理由. 【变式2】(2021·上海中学高一期末)如图1,在 中, , , 分别为 , 的中点,点 是线段 上的一点,将 沿 折起到 的位置,使 ,如图2. (1)证明: ; (2)线段 上是否存在点 ,使 平面 ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由. 【变式3】(2021·安徽省太和中学高一月考)如图,在正三棱柱 中,D是 的中点,E是 的中点, 是 的中心. (1)若 , ,求正三棱柱 的侧面积; (2)设 , ,若点P在线段 上,且 ,是否存在 使得 ?如果存在,求 的值;如果不存在,请说明理由. 【限时训练】 1.(2022·湖南·高一)如图,四边形ABCD为正方形,△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,P是线段CD的中点,在直线AE上是否存在一点M,使得PM∥平面BCE.若存在,指出点M的位置,并证明你的结论. 2.(2022·浙江省开化)如图,三棱锥 中,平面 平面 , , 分别是 , 的中点,且 , . (1)在线段 上是否存在点 ,使得 平面 ,若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由; (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 3.(2021·黑龙江鸡西)如图,在四棱锥 中,底面ABCD是梯形, , , , 平面ABCD,点E是棱PC上的一点. (1)证明:平面 平面PBC; (2)是否存在一点E,使得 平面BDE?若存在,请说明点E的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由; (3)若三棱锥 的体积是 ,求点D到平面PAB的距离. 4.(2021·湖北·高一期末)在如图所示的四棱锥 中,四边形 是等腰梯形, , 平面 , . (1)求证: ; (2)若 为 的中点,问线段 上是否存在点 ,使得 平面 ?若存在,求出 的长;若不存在,请说明理由. 5.(2021·陕西·西安)如图,在四棱锥 中四边形 为平行四边形, , 是正三角形,且 . (1)当点M在线段 上什么位置时,有 平面 ? (2)在(1)的条件下,点N在线段 上什么位置时,有平面 平面 ? 6.(2020·黑龙江·哈尔滨)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=2AB=2BC,E是CD的中点.将△ADE沿AE折起到△AD'E的位置. 若M为棱BD'上动点,问在棱AE上是否存在定点N,使BC⊥MN?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.