6.4.1&6.4.2 平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 &6.4.2 向量在物理中的应用举例 复习引入 前面我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算.本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题. 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用. 有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标. 例析 例1.如图，是的中线，用向量方法证明： 证明：如图，因为是的中线， 所以，. 从而. 又 所以. 于是 新知探索 平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题.用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论. 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 例析 例2.如图，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？ 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图，取为基底，设，， 则，. 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ，. 上面两式相加，得. 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：. 例析 下面，我们再来感受一下向量在物理中的应用. 例3.在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 解：先来看共提旅行包的情况.如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为，旅行包所受的重力为. 由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道 . 例析 例3.在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ . 这里，为定值.分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小.这就是说，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力. 同理，在单杠上做引体向上越大，两臂的夹角越小越省力. 例析 思考1:当为何值时，最小？最小值是多少？ 思考2：能等于吗？为什么？ . 事实上，要使最小，只需最大，此时，可得. 于是的最小值为. 若要使，只需，此时，即. 例析 例4.如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到)？ 解：设点是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短. 如图，设，则 此时，船的航行时间 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 新知探索 辨析1：判断正误. (1)若为直角三角形，则有 （ ） (2)若向量//，则 （ ） (3)若平面四边形满足，，则该四边形一定是菱形. （ ） 答案：×，×，√. 辨析2：在中，已知，，，则边的中线的长是（ ）. A. B. C. D. 答案：B. 练习 题型一：平面向量在几何证明中的应用 例1.如图所示，在正方形中，点为的中点，分别是的中点.求证：. 证