16.1 二次根式的概念与性质（专题练习） 同时课时练习 2021—2022学年人教版数学八年级下册

16.1 二次根式的概念与性质（专题练习） 1．化简：（1） （2）． 2．①计算（　 　），（　 　），（　 　）． ②探索规律，对于任意的有理数a，都有（　 　）． ③有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简． 3．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+b||b﹣c|． 4．实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：|a+b||b+c|． 5．若x，y为实数，且y2，试化简：x2+|y﹣2|． 6．观察下列等式： ①1×3；②3×5；③5×7； … 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第④个等式：　 　×　 　； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性． 7．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：| 解：隐含条件1﹣3x≥0解得：x ∴1﹣x＞0 ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x） ＝1﹣3x﹣1+x ＝﹣2x 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|b﹣a|； （3）已知a，b，c为△ABC的三边长， 化简： 8．观察下列各式及其验证过程： 2，验证：2． 3，验证：3． （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证； （3）用a（a为任意自然数，且a≥2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程． 9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：7，7． 不难发现，结果都是7． （1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证； （2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明． 10．阅读下列解题过程： 例：若代数式，求a的取值． 解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|， 当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）； 当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4； 所以，a的取值范围是2≤a≤4． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当3≤a≤7时，化简：　 　； （2）请直接写出满足5的a的取值范围　 　； （3）若6，求a的取值． 11．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，a•b＝n，使得m，，那么便有：（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12．即7，． ∴． （1）填空：　 　，　 　． （2）化简：． 12．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+b（其中，a，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若a+b，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　 　，b＝　 　． （2）若a+6，当a，m，n均为正整数时，求a的值． （3）化简：和． 13．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得（）2+（）2＝m，•，那么便有：±（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12， 由于4+3＝7，4×3＝12， 即（）2+（）²＝7，， ∴2． 由上述例题的方法化简：①； ②． 14．小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下： 题目：若代数式的值是1，求m的取值范围． 解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|， 当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）； 当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件； 当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）； 所以，m的取值范围是1≤m≤2． 请你根据小明的做法，解答下列问题：