专题05 数列-【中职专用】上海市近十年春季数学真题分类汇编

专题05 数列 1.(2021春考1)在等差数列中,首项,公差,则 . 【答案】 2.(2021春考9).若无穷等比数列满足,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 由题意,,,∴,∴. 3.(2021春考21). (本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 已知数列满足,对任意,项和中存在一项使其为另一项与的等差中项. (1)已知,,,求的所有可能取值; (2)已知,、、为正数,求证:、、成等比数列,并求出公比; (3)已知数列中恰有3项为0,即,,且,,求的最大值. 【答案】(1),(2)公比为,(3). 【解析】 (1)由题意得:或, 若,此时,,,,且, 若,此时,,,,但, 所以. (2)已知,由三项得: ,或,与(1)类似,检验得:; 同理,由三项得:,或(,舍),∴; 以此类推: ,或(舍),∴; ,或(舍),∴; 综上,、、成等比数列,公比为. (3)由或,得或, 即或,即或, 与第(2)问类似, ,① 或,② 由②可得,这与数列中恰有3项为0的条件矛盾, 由①可得,且, ∴, 数列按规律③或④递推变换, 所以存在, 按④变换次,按③变换次, 使得,∴, 同理,,,∴, 同理,,∴的最大值为. 4.(2018春考 2).计算:_. 【答案】3 5. (2018春考5).已知是等差数列,若,则_. 【答案】15 6. (2018春考 15).记为数列的前项和.“是递增数列”是“是递增数列”的( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】D 7. (2018春考21).(本题满分18分,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分) 若是递增数列,数列满足:对任意,存在,使得,则称是的“分隔数列”. (1)设,,证明:数列是的“分隔数列”; (2)设,是的前项和,,判断数列是否是数列的分隔数列,并说明理由; (3)设,是的前项和,若数列是的分隔数列,求实数、的取值范围. 【答案】(1)证明略;(2)不是.反例:时,无解;(3). 8.(2017春考6). 若等差数列的前5项的和为25,则 。 【答案】 10; 9.(2017春考8). 已知数列的通项公式为,则 。 【答案】 ; 10.(2016春考19).在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n(n∈N*)的第(ii)步中,假设n=k时原等式成立,那么在n=k+1时需要证明的等式为( ) A.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1) B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1) C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1) D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1) 【解答】解:∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时, 当n=1左边所得的项是1+2; 假设n=k时,命题成立,1+2+3+…+2k=2k2+k, 则当n=k+1时,左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1), ∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2(k+1), ∴1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1). 故选:D. 11.(2016春考28).已知数列{an}是公差为2的等差数列. (1)a1,a3,a4成等比数列,求a1的值; (2)设a1=﹣19,数列{an}的前n项和为Sn.数列{bn}满足,记(n∈N*),求数列{cn}的最小项(即对任意n∈N*成立). 【解答】解:(1)∵数列{an}是公差为2的等差数列.a1,a3,a4成等比数列, ∴. 解得d=2,a1=﹣8 (2)bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1) =1+ = =2﹣()n﹣1. , , =2n﹣19+2n 由题意n≥9,上式大于零,即c9<c10<…<cn, 进一步,2n+2n是关于n的增函数, ∵2×4+24=24>19,2×3+23=14<19, ∴c1>c2>c3>c4<c5<…<c9<c10<…<cn, ∴. 12.(2016春考36).对于数列{an}与{bn},若对数列{cn}的每一项cn,均有ck=ak或ck=bk,则称数列{cn}是{an}与{bn}的一个“并数列”. (1)设数列{an}与{bn}的前三项分别为a1=1,a2=3,a3=5,b1=1,b2=2,b3=3,若{cn}是{an}与{bn}一个“并数列”求所有可能的有序数组(c1,c2,c3); (2)已知数列{an},{cn}均为等差数列,{an}的公差为1,首项为正整数t;{cn}的前10项和为﹣