2.3平行线的性质(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年七年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

2.3平行线的性质 平行线的性质1: 两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等. 简称为∶两直线平行,同位角相等. 注意:2.平行线的性质与平行线的判定的区别 (1)平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系,而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系; (2)平行线的判定的条件是平行线的性质的结论,而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件. 题型1:利用平行线的性质1求角度 1如图,已知a∥b,∠2=115°,则∠1的度数为( ) A.65° B.125° C.115° D.25° 【分析】如图,根据平角的定义,得∠2+∠3=180°,故∠3=65°.根据平行线的性质,由a∥b,得∠1=∠3=65°. 【解答】解:如图, ∵∠2+∠3=180°,∠2=115°, ∴∠3=180°﹣∠2=180°﹣115°=65°. 又∵a∥b, ∴∠1=∠3=65°. 故选:A. 【变式1-1】如图,∠1=∠2,∠3=112°,则∠4等于( ) A.62° B.68° C.78° D.112° 【分析】首先证明a∥b,可得∠3=∠5=112°,再根据邻补角的性质即可解决问题. 【解答】解:如图, ∵∠1=∠2,∠2=∠ABC, ∴∠1=∠ABC, ∴a∥b, ∴∠3=∠DEF=112°, ∴∠4=180°﹣112°=68°, 故选:B. 【变式1-2】如图,AB∥CD,EF分别与AB、CD交于点A、F,若∠B=25°,∠AFC=60°,试求∠E的度.数 【分析】根据AB∥CD可得∠BAF=∠AFC=60°,再利用外角性质可求出∠E的度数. 【解答】解:∵AB∥CD, ∴∠BAF=∠AFC=60°(两直线平行,内错角相等), ∵∠BAF是△ABE的外角, ∴∠E=∠BAF-∠B=60°-25°=35°, 答:∠E的度数为35°. 题型2:利用平行线的性质1推理说明 2.请把以下说理过程补充完整: 如图,AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3,说明BE与DF平行的理由. 如图,AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3,说明BE与DF平行的理由. 解:理由是: 因为AB⊥BC, 所以∠ABC= 即:∠3+∠4= 因为∠1+∠2=90°,且∠2=∠3, 所以 = ( ) 所以BE∥DF ( ) 【答案】90;90;∠1,∠4;等角的余角相等;同位角相等,两直线平行. 【分析】由AB⊥BC,利用垂直的定义得到∠ABC为直角,进而得到∠3与∠4互余,再由∠1与∠2互余,根据∠2=∠3,利用等角的余角相等得到∠1=∠4,利用同位角相等两直线平行即可得证. 【解答】解:理由是: 因为AB⊥BC, 所以∠ABC=90°,即:∠3+∠4=90°, 因为∠1+∠2=90°,且∠2=∠3, 所以∠1=∠4(等角的余角相等), 所以BE∥DF(同位角相等,两直线平行). 故答案为:90;90;∠1,∠4;等角的余角相等;同位角相等,两直线平行. 【变式2-1】如图,已知DE∥AC,∠A=∠DEF,试说明∠B=∠FEC. 【分析】直接利用平行线的性质得出∠A=∠BDE,再利用平行线的判定得出AB∥EF,进而得出答案. 【解答】证明:∵DE∥AC, ∴∠A=∠BDE, 又∵∠A=∠DEF, ∴∠BDE=∠DEF, ∴AB∥EF, ∴∠B=∠FEC. 【变式2-2】如图,已知EG∥AD,∠1=∠G,试说明AD平分∠BAC. 【分析】先根据已知条件推出AD∥EF,再由平行线的性质得出∠1=∠2,∠3=∠G,结合已知通过等量代换即可得到∠2=∠3,根据角平分线的定义可知AD是∠BAC的平分线. 【解答】解:∵EG∥AD, ∴∠1=∠2,∠3=∠G, ∵∠G=∠1, ∴∠2=∠3. ∴AD平分∠BAC. 平行线的性质2 :两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等. 简称为∶两直线平行,内错角相等. 题型3:利用平行线的性质2求角度 3.如图,∠1=∠2,∠4=120°,则∠3等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 【分析】根据邻补角的性质求出∠6,证明l1∥l2,根据平行线的性质解答即可. 【解答】解:∵∠4=120°, ∴∠6=180°﹣120°=60°, ∵∠1=∠2,∠1=∠5, ∴∠5=∠2, ∴l1∥l2, ∴∠3=∠6=60°, 故选:B. 【变式3-1】如图,B是AC边上一点,AD∥BE,∠1=∠2,求证:∠A=∠E. 【分析】由平行线的性质得出同位角相等∠A=∠3,由∠1=∠2,得出DE∥AC,得出内错角相等∠E=∠3,即可得出结论. 【解答】证明:∵AD∥BE, ∴∠A=∠3, ∵∠1=∠2, ∴DE∥AC, ∴∠E=∠3, ∴∠A=∠E. 【变式3-2】如图,CD是∠ACB的平分线,∠ACB=82°,∠